問題一：1+2+3+4+5+…+10000=？
第一種解法：
1+2=3,3+3=6，6+4=10,10+5=15…
這是要算到猴年馬月的節奏呀 果斷棄之
第二種解法：
聰明的高斯，這樣玩：
（1+10000）×10000÷2=50005000 （1+10000）\times10000\div2=50005000（1+10000）×10000÷2=50005000
在這一問題的解答上，高斯的方法真香！
問題二：冬天裏，你和小紅玩猜數字，小紅隨便想一個1～100的數字。你的目標是以最少的次數猜到這個數字。你每次猜測後，小紅會說小了、大了或對了。在10次內猜對了，小紅就答應今晚用你暖牀。是不是聽着很刺激
第一種解法：
你從1開始依次往上猜，猜測過程會是這樣,小紅皺着眉不斷說小了
這是簡單查找，更準確的說法是傻找 。每次猜測都只能排除一個數字。如果小紅想的數字是99，你得猜99次才能猜到！，註定今晚你和小紅無緣了
第二種解法：你從50開始，小紅笑着說小了，你接着說75…
你每次猜測的是中間的數字，從而每次都將餘下的數字排除一半。接下來，你猜63（50和75中間的數字）…這就是二分查找，每次猜測排除的數字個數如下:
不管小紅心裏想的是哪個數字，你在7次之內都能猜到，因爲每次猜測都將排除很多數字！恭喜你，小紅今晚是你的人了。
解析：對於包含n 個元素的有序列表，用二分查找最多需要log2n log_2 nlog2n步1，而簡單查找最多需要n 步。
二分查找的python實現
def binary_search(list1, item):
low = 0 # low和high用於跟蹤要在其中查找的列表部分
high = len(list1) - 1
while low <= high:
mid = (low + high) // 2
guess = list1[mid]
if guess == item: # 猜對了
return mid # 返回位置
elif guess > item: # 猜大了
high = mid - 1
else: # 猜小了
low = mid + 1
return None # 沒有找到
my_list = [i for i in range(1,100)] # 列表推導式生成0-100個數
print(binary_search(my_list, 3)) # 別忘了索引從0開始
回到前面的二分查找。使用它可節省多少時間呢？簡單查找逐個地檢查數字，如果列表包含100個數字，最多需要猜100次。如果列表包含40億個數字，最多需要猜40億次。換言之，最多需要猜測的次數與列表長度相同，這被稱爲線性時間（linear time）。
二分查找則不同。如果列表包含100個元素，最多要猜7次；如果列表包含40億個數字，最多需猜32次。厲害吧？二分查找的運行時間爲對數時間 （或log loglog時間）。
算法
在計算機領域，我們同樣會遇到各種高效和拙劣的算法。衡量算法好壞的重要標準有兩個。通常指最糟的情形下的：
時間複雜度（採用大O表示法）
空間複雜度（採用大O表示法）
理解：小明和小剛都是初入IT的新人，一天老闆給他們佈置了同一個需求讓他們用代碼實現出來，小明的代碼運行一次要花100ms，佔用內存5MB。小剛的代碼運行一次要花100s，佔用內存500MB。於是……小剛第二天就從公司消失了
你經常會遇到的5種大O運行時間：
O (logn log nlogn)，也叫對數時間，這樣的算法包括二分查找
O (n)，也叫線性時間，這樣的算法包括簡單查找
O (n∗logn n * log nn∗logn)，這樣的算法包括快速排序——一種速度較快的排序算法。
O (n2 n ^2n2)，這樣的算法包括選擇排序——一種速度較慢的排序算法。
O (n! n !n!)，這樣的算法包括旅行商問題的解決方案——一種非常慢的算法.
假設你要繪製一個包含16格的網格，且有5種不同的算法可供選擇：
時間複雜度的概念明白了，那空間複雜度呢：
問題三：給出下圖所示的n個整數，其中有兩個整數是重複的，要求找出這兩個重複的整數。
第一種解法：
你採用雙重循環，遍歷整個數列，每遍歷到一個新的整數就開始回顧之前遍歷過的所有整數，看看這些整數裏有沒有與之數值相同的，第1步，遍歷整數3，前面沒有數字，所以無須回顧比較。第2步，遍歷整數1，回顧前面的數字3，沒有發現重複數字。後續步驟類似，一直遍歷到最後的整數2，發現和前面的整數2重複。
這個算法的時間複雜度是O(n2) O(n^2)O(n2)
第二種解法：
當你遍歷整個數列時，每遍歷一個整數，就把該整數存儲起來，就像放到字典中
一樣。當遍歷下一個整數時，不必再慢慢向前回溯比較，而直接去“字典”中查找，看看有沒有對應的整數即可。“字典”左側的Key代表整數的值，“字典”右側的Value代表該整數出現的次數（也可以只記錄Key）。當遍歷到最後一個整數2時，從“字典”中可以輕鬆找到2曾經出現過，問題也就迎刃而解了。
讀寫“字典”本身的時間複雜度是O(1) O(1)O(1)，所以整個算法的時間複雜度是O(n) O(n)O(n)
第二種解法採用的這個所謂的“字典”，是一種特殊的數據結構，叫作散列表。這個數據結構需要開闢一定的內存空間來存儲有用的數據信息。
計算機的內存空間是有限的，在時間複雜度相同的情況下，算法佔用的內存空間自然是越小越好。如何描述一個算法佔用的內存空間的大小呢？這就用到了算法的另一個重要指標——空間複雜度（space complexity）。
常量空間，當算法的存儲空間大小固定，和輸入規模沒有直接的關係時，空間複雜度記作O(1) O(1)O(1)
線性空間，當算法分配的空間是一個線性的集合（如數組），並且集合大小和輸入規模n成正比時，空間複雜度記作O(n) O(n)O(n)
二維空間，當算法分配的空間是一個二維數組集合，並且集合的長度和寬度都與輸入規模n成正比時，空間複雜度記作O(n2) O(n^2)O(n2)
遞歸空間，遞歸是一個比較特殊的場景。雖然遞歸代碼中並沒有顯式地聲明變量或集合，但是計算機在執行程序時，會專門分配一塊內存，用來存儲“方法調用棧”。執行遞歸操作所需要的內存空間和遞歸的深度成正比。純粹的遞歸操作的空間複雜度也是線性的，如果遞歸的深度是n，那麼空間複雜度就是O(n) O(n)O(n)。
時間與空間的取捨:
人們之所以花大力氣去評估算法的時間複雜度和空間複雜度，其根本原因是計算機的運算速度和空間資源是有限的。雖然目前計算機的CPU處理速度不斷飆升，內存和硬盤空間也越來越大，但是面對龐大而複雜的數據和業務，我們仍然要精打細算，選擇最有效的利用方式。
在尋找重複整數的問題三中，雙重循環的時間複雜度是O(n2) O(n^2)O(n2)，空間複雜度是O(1) O(1)O(1)，這屬於犧牲時間來換取空間的情況。相反，字典法的空間複雜度是O(n) O(n)O(n)，時間複雜度是O(n) O(n)O(n)，這屬於犧牲空間來換取時間的情況。在絕大多數時候，時間複雜度更爲重要一些，我們寧可多分配一些內存空間，也要提升程序的執行速度。
數據結構
算法的概念理解清楚了，下面就是數據結構。如果把算法比喻成美麗靈動的舞者，那麼數據結構就是舞者腳下廣闊而堅實的舞臺。數據結構，對應的英文單詞是data structure，是數據的組織、管理和存儲格式，其使用目的是爲了高效地訪問和修改數據。
常見的數據結構：
線性結構，線性結構是最簡單的數據結構，包括數組、鏈表，以及由它們衍生出來的棧、隊列、哈希表。
樹是相對複雜的數據結構，其中比較有代表性的是二叉樹，由它又衍生出了二叉堆之類的數據結構。
圖是更爲複雜的數據結構，因爲在圖中會呈現出多對多的關聯關係。
- 除上述所列的幾種基本數據結構以外，還有一些其他的千奇百怪的數據結構。它們由基本數據結構變形而來，用於解決某些特定問題，如跳錶、哈希鏈表、位圖等。
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