数据结构与算法分析再读之引论和算法分析

本章由两个问题引开，并证明了一些算法基础的数学公式。

1. 两个问题

a. 求N个数中的前K个最大值问题。从全部排序法，到维持一个K个元素的数组方法，再到2叉堆法，一步一步说明算法重要性。

b. 字谜问题。

2. 数学公式

指数问题，对数问题，级数和问题。

3. 一些数学证明方法

a.数学归纳法。 两要素：基准情形成立，当n=N成立时，n=N+1也成立，得证。

b.递归方法。两要素：停止条件，不断推进

4. 大O表示法

单循环为O(N),嵌套两层为O(N2),分治2分为logN. 斐波拉契为（5/3)N次方

例子：最大子序列最大和问题的求解。

穷举法，穷举所有数列，2分法还有一个用技巧的O(N)算法。代码如下：

#include <stdio.h>
int maxSubSeqence(const int A[],unsigned int n)
{
    int i,j,k=0;
    int sum,maxsum=0;
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=i;j<n;j++)
        {
            sum =0;
            for(k=i;k<=j;k++)
                sum = sum + A[k];
            if (sum>maxsum)
                maxsum = sum ;
        }
    return maxsum;
}
int maxSubSeqence2(const int A[],unsigned int n)
{
    int i,j,k=0;
    int sum,maxsum=0;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        sum =0;
        for(j=i;j<n;j++)
        {
            sum = sum + A[j];
            if (sum>maxsum)
                maxsum = sum ;
        }
    }
    return maxsum;
}
int maxSubSeqence3(const int A[],int begin, int end)
{
    if (begin==end)
    {
        if (A[begin]>0)
            return A[begin];
        else
            return 0;
    }

    int middle =(begin+end)/2;
    int leftsum,rightsum;
    leftsum = maxSubSeqence3(A,begin,middle);
    rightsum = maxSubSeqence3(A,middle+1,end);

    int maxleftbordersum=0,maxrightbordersum=0, bordersum=0;
    int i;
    for(i = middle+1;i<=end; i++)
    {
        bordersum = bordersum+ A[i];
        if (bordersum>maxrightbordersum)
            maxrightbordersum = bordersum;
    }
    bordersum =0;
    for(i = middle;i>=begin; i--)
    {
        bordersum = bordersum+ A[i];
        if (bordersum>maxleftbordersum)
            maxleftbordersum = bordersum;
    }
    int max = leftsum;
    if (max<rightsum)
        max =rightsum;
    if (max<maxleftbordersum+maxrightbordersum)
        max =maxleftbordersum+maxrightbordersum;
    return max;
}

int maxSubSeqence4(const int A[],int n)
{
    int i=0,max =0;
    int sum=0;
    for (i=0;i<n;i++)
    {
        sum=sum+A[i];        if(sum>max)
            max= sum;
        if(sum<0)
            sum =0;
    }
    return max;
}

int main()
{
   int A[] = {1,-3, 9,2,1, -10,6,-7,8} ;
   int maxsum = maxSubSeqence(A,sizeof(A)/sizeof(int));
   printf("maxsum=%d\n",maxsum);
   int maxsum2 = maxSubSeqence2(A,sizeof(A)/sizeof(int));
   printf("maxsum2=%d\n",maxsum2);
   int maxsum3 = maxSubSeqence3(A,0,sizeof(A)/sizeof(int)-1);
   printf("maxsum3=%d\n",maxsum3);
   int maxsum4 = maxSubSeqence4(A,sizeof(A)/sizeof(int));
   printf("maxsum4=%d\n",maxsum4);
   return 0;
}

logN的算法欧几里得求解最大公约数：

#include <stdio.h>

int gcd(int m, int n)
{
    while(n>0)
    {
        int rem = m%n;
        m = n;
        n = rem;
    }
    return m;
}

int main()
{
    int m = 1345, n = 9745;
    printf("gcd = %d\n", gcd(m,n));
}
~    

求x的N次方运算：

#include <stdio.h>
int power(int x,int n)
{
    if (n==0)
        return 1;
    if (n==1)
        return x;
    if (n%2==0)
        return power(x*x,n/2);
    else
        return power(x*x,(n-1)/2)* x;
}

int main()
{
    int m = power(2,10);
    printf("power 2,10=%d\n", m);
}