劍指Offer50-n個色子的點數

劍指Offer典型題整理 - 爭取做最好的題解
整理時間：2020年02月20日

1 題目描述

把n個骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的點數之和爲s。輸入n，打印出s的所有可能的值出現的概率。

你需要用一個浮點數數組返回答案，其中第 i 個元素代表這 n 個骰子所能擲出的點數集合中第 i 小的那個的概率。

示例

輸入: 1
輸出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]

輸入: 2
輸出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

2 題解

一開始我以爲這是一道數學題，想着找找規律，Emmmm，然鵝並沒什麼規律。後來發現這是一道動態規劃題目，一直以爲動態規劃的題目主要用來求最XX問題的，所以沒有往DP上想，看樣子動態規劃學的還是不太行。

2.1 定義dp與初始化

如果用二維數組實現DP，就需要定義一個行數爲$n+1$，列數爲$6*n+1$的矩陣，dp[i][j]表示使用i個色子出現的和爲j的次數。並且將下標爲1的那一行初始化：

dp = [[0 for i in range(6 * n + 1)] for j in range(n + 1)]
for i in range(1, 7):
	dp[1][i] = 1

2.2 定義狀態轉移方程

這個問題之所以能夠使用DP解決，就是因爲狀態可以疊加：k個色子求和的結果和k-1個色子有關。當有k-1個骰子時，再增加一個骰子，這個骰子的點數只可能爲1、2、3、4、5或6。在k-1個骰子的基礎上，再增加一個骰子出現點數和爲n只有 下面6中情況：

(k-1,n-1)：第k個骰子投了點數1

(k-1,n-2)：第k個骰子投了點數2

(k-1,n-3)：第k個骰子投了點數3

…

(k-1,n-6)：第k個骰子投了點數6

所以：f(k,n)=f(k-1,n-1)+f(k-1,n-2)+f(k-1,n-3)+f(k-1,n-4)+f(k-1,n-5)+f(k-1,n-6)​

2.3 代碼實現

C++代碼

class Solution {
public:
    vector<double> twoSum(int n) {
        vector<vector<int>> dp(n + 1);
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            dp[i].resize(6 * n + 1);
        }
        for (int i = 1; i <= 6; i++) {
            dp[1][i] = 1;
        }
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = i; j < 6 * i + 1; j++) {
                for (int k = 1; k <= 6; k++) {
                    if (j - k > 0) {
                        dp[i][j] += dp[i - 1][j - k];
                    }
                }
            }
        }

        vector<double> ans;
        float base = pow(6, n);
        for (int i = n; i <= 6 * n; i++) {
            ans.push_back(dp[n][i] / base);
        }
        return ans;
    }
};

python代碼

class Solution(object):
    def twoSum(self, n):
        dp = [[0 for i in range(6 * n + 1)] for j in range(n + 1)]
        for i in range(1, 7):
            dp[1][i] = 1
        for i in range(2, n + 1):
            for j in range(i, 6 * i + 1):
                for k in range(1, 7):
                    if j - k > 0:
                        dp[i][j] += dp[i - 1][j - k]
        base = math.pow(6, n)
        return [counts / float(base) for counts in dp[n][n:]]

(完)