參考鏈接：https://blog.csdn.net/hellocsz/article/details/91486679
參考鏈接：https://blog.csdn.net/appleyuchi/article/details/78170424
參考鏈接：https://www.cnblogs.com/dudu1992/p/9112054.html
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參考鏈接：https://www.zhihu.com/question/36514939/answer/67810216
參考鏈接：https://blog.csdn.net/Sun7_She/article/details/77199844
一、格拉姆矩陣
n維空間中任意k個向量之間兩兩的內積所組成的矩陣，稱爲這k個向量的格拉姆矩陣(Gram matrix)歐式。
可以理解爲：每個Gram矩陣都有一組向量，而Gram矩陣就是由這一組向量兩兩內積得到的。
舉個例子
二、Gram matrix與風格遷移
什麼是風格遷移？
風格遷移又被稱爲風格轉換，直觀的是：給定原始圖像，並選擇相應的圖像風格，將兩者結合起來。
風格：一般來說淺層網絡提取的是局部的細節紋理特徵，深層網絡提取的是更抽象的輪廓、大小等信息。這些特徵總的結合起來表現出來的感覺就是圖像的風格。
文章中，提到了兩個損失：
和
content loss：使用逐像素計算插值，又被稱爲pixel-wise loss，追求的是生成圖像和原始圖像逐像素差異儘可能的小。
style loss：衡量風格差異的損失值。
在執行風格遷移時，我們並不要求生成圖片的像素和原始圖片中的每個像素都一樣，我們最求的是生成圖片和原圖片具有相同的特徵，因此我們使用中間層作爲我們的目標，希望原圖片和風格遷移後的目標圖片儘可能相似。即將深層模型中的某些層的輸出作爲圖像的知覺特徵。
而style transfer 思路：在圖像內容附近通過白噪聲初始化一個輸出的結果，然後通過網絡對這個結果進行風格和內容兩方面的約束進行修正。而在風格的表示中採用的是Gram Matrix。
Gram Matrix實際上可看做是feature之間的偏心協方差矩陣（即沒有減去均值的協方差矩陣），在feature map中，每一個數字都來自於一個特定濾波器在特定位置的卷積，因此每個數字就代表一個特徵的強度，而Gram計算的實際上是兩兩特徵之間的相關性，哪兩個特徵是同時出現的，哪兩個是此消彼長的等等，同時，Gram的對角線元素，還體現了每個特徵在圖像中出現的量，因此，Gram有助於把握整個圖像的大體風格。有了表示風格的Gram Matrix，要度量兩個圖像風格的差異，只需比較他們Gram Matrix的差異即可。
內積之後得到的多尺度矩陣中，對角線元素提供了不同特徵圖（a1，a2 ... ，an）各自的信息，其餘元素提供了不同特徵圖之間的相關信息。於是，在一個Gram矩陣中，既能體現出有哪些特徵，又能體現出不同特徵間的緊密程度。
如何簡單理解Gram matrix？
gram矩陣是計算每個通道I的feature map與每個通道j的feature map的內積。
gram matrix的每個值可以說是代表i通道的feature map與j通道的feature map的互相關程度。
風格遷移中的Gram矩陣
參考文章：A neural algorithm of artistic style
文章鏈接：https://arxiv.org/abs/1508.06576
（1）Gram矩陣的計算採用了累加的形式，拋棄了空間信息。一張圖片的像素隨機打亂之後計算得到的Gram Matrix和原圖的Gram Matrix一樣。所以認爲Gram Matrix所以認爲Gram Matrix拋棄了元素之間的空間信息
（2）Gram Matrix的結果與feature maps F 的尺寸無關，只與通道個數有關，無論H,W的大小如何，最後Gram Matrix的形狀都是CXC
（3）對於一個C X H X W的feature maps，可以通過調整形狀和矩陣乘法運算快速計算它的Gram Matrix。即先將F調整到 C X (HW)的二維矩陣，然後再計算F 和F的轉置。結果就爲Gram Matrix
Gram matrix的特點：注重風格紋理，忽略空間信息
