【算法基礎】空瓶換酒

空瓶換酒-python實現

最近學習學習到一種空瓶換酒的算法，其題目描述爲：假設一瓶啤酒2元錢，商家爲了促銷，規定：可以用2個空瓶子換一瓶啤酒，或者用4個蓋子換一瓶啤酒。現在你身上有10元錢，可以買多少瓶啤酒。

1.算法分析

1.1 通常情況

首先假設最後可以用空瓶子換到$X$個啤酒,可以用蓋子換到$Y$個啤酒，同時我們可以用N元錢一開始就買到M個啤酒，就可以得到下面的不等式：
$X \leq \frac{M+X+Y}{2} < X+1$
$Y \leq \frac{M+X+Y}{4} < Y+1$
上述兩個公式說明，最後喝到的啤酒數量，肯定不能夠再兌換多一個啤酒。

通過化簡上述公式，可以得到以下公式：
$M+Y-2 < X \leq M+Y~~~(1)$
$\frac{M+X-4}{3} < Y \leq \frac{M+X}{3}~~~(2)$
化簡上述不等式之後，可以利用不斷遍歷循環，來驗證不同值的情況。

舉個例子：
當有10塊錢，一開始可以買到$M=5$的啤酒數量，當$Y=1$時，通過公式(1)可以得到$X$的取值範圍爲$X \in [4,6]$。然後再把$X$和$Y$的幾種情況代入到公式(2)進行驗證。發現上述情況都不符合。

具體的python編程邏輯：

def cal_bar(moneny):
    x = 0
    y = 0
    m = moneny / 2
    for y in range(10):
        x_min = m + y -2
        x_max = m + y
        if x_max > x_min > 0:
            for i in range(x_min + 1, x_max + 1):
                if (m + i - 4) / 3 < y <= (m + i) / 3:
                    return i, y

    return None, None

結果可以喝到15瓶啤酒。

1.2 賒賬情況

上面的情況是不能進行賒賬的，如果能向老闆進行賒賬，則有有種原子操作：

• 目前手上有1個瓶子，向老闆借1個瓶子，然後兌換1個啤酒，喝掉啤酒後，還之前借的酒瓶，這時候的情況是：喝了1個啤酒，得到1個蓋子
• 目前手上有2個蓋子，向老闆借2個蓋子，然後兌換1個啤酒，喝掉之後，這時候生產出1個空瓶和1個蓋子，利用上面的操作再借空瓶，就可以再喝1個啤酒，這時候就可以還掉2個蓋子，實際上：喝了2個啤酒，瓶子和蓋子都沒有剩下

使用這兩種操作，可以得到比不能借的情況下更優的解：

def drink(moneny):
    total = 0
    wine, bottle, lid = moneny / 2, 0, 0
    while True:
        if wine != 0:
            total += wine
            bottle += wine
            lid += wine
            wine = 0
        elif bottle != 0:
            total += bottle
            lid += bottle
            bottle = 0
        elif lid >= 2:
            total += (lid / 2) * 2
            lid %= 2
        else:
            break
    return total

最後可以得到喝了20瓶啤酒。