數的機器碼錶示（原碼，反碼，補碼，移碼）

1. 機器數和真值

二進制數有正負之分，如N₁=+0.101101，N₂=-0.101101，則N₁是個正數，N₂是個負數。機器不能直接把符號“+”、“-”表示出來，爲了能在計算機中表示正負數，必須引入符號位，即把正負符號也用1位二進制數碼來表示。把符號位和數值位一起編碼來表示相應的數的表示方法包括：原碼、補碼、反碼、移碼等。

爲了便於在計算機中表示，同時又便於與實際值相區分，在此首先引入機器數和真值的概念。

機器數  用二進制數“0”或“1”來表示數的符號，“0”表示正號，“1”表示負號，且把符號位置於該數的最高數值位之前，這樣表示的數稱爲機器數（或稱機器碼），即把符號位和數值位一起編碼來表示的數就是機器數。

真值  一般書寫中用“+”、“-”來表示數的符號，這樣表示的數稱爲真值。

例如：N₁ = +0.101101，N₂ = -0.101101，這是真值，表示成機器數（以原碼爲例）就是[N₁]_原= 0.101101，[N₂]_原 = 1.101101。

機器數有原碼、補碼、反碼和移碼四種表示形式。下面以整數爲例說明原碼、補碼、反碼和移碼的表示方法。

2. 原碼

符號位爲0表示正數，爲1表示負數，數值部分用二進制數的絕對值表示的方法稱爲原碼錶示法，通常用[X]_原表示X的原碼。

例如，要表示+59和-59的原碼。假設機器數的位數8位（即機器的字長爲8位），最高位是符號位，其餘7位是數值位，那麼，+59和-59的原碼分別表示爲：

[+59]_原=00111011                  [-59]_原=10111011

寫成一般式則爲：

正數的原碼         [X]_原=X             (0＜X＜2^n-1)

負數的原碼         [X]_原=2^n-1-X       (-2^n-1＜X＜0)

注意：0的原碼有兩個值，有“正零”和“負零”之分，機器遇到這兩種情況都當作0處理。

[+0]_原=00000000                    [-0]_原=10000000

原碼的表示方法簡單易懂，與真值轉換方便，但在進行加減法運算時，符號位不能直接參加運算，而是要分別計算符號位和數值位。當兩數相加時，如果是同號，則數值相加；如果是異號，則要進行減法運算。而在進行減法運算時，還要比較絕對值的大小，然後用大數減去小數，最後還要給運算結果選擇恰當的符號。

爲了解決這些問題，人們引進了數的補碼錶示法。

3. 補碼

什麼是補碼？我們先用日常生活中的實例來進行說明。假如現在時間是7點，而你的手錶卻指向了9點，如何調整手錶的時間？有兩種方法撥動時針，一種是順時針撥，即向前撥動10個小時；另一種是逆時針撥，即向後撥2個小時。從數學的角度可以表示爲：

(9+10) -12=19-12=7

或 9-2=7

可見，對鐘錶來說，向前撥10個小時和向後撥2個小時的結果是一樣的，減2可以用加10來代替。這是因爲鐘錶是按12進位的，12就是它的“模”。對模12來說，-2與+10是“同餘”的，也就是說，-2與+10對於模12來說是互爲補數的。

計算機中的加法器是以2ⁿ爲模的有模器件，因此可以引入補碼，把減法運算轉換爲加法運算，以簡化運算器的設計。

補碼的定義：把某數X加上模數K，稱爲以K爲模的X的補碼。

[X]_補=K+X

因此，正數的補碼的最高位爲符號“0”，數值部分爲該數本身；負數的補碼的最高位爲符號“1”，數值部分爲用模減去該數的絕對值。

通過用模2ⁿ減去某數的絕對值的方法來求某數的補碼比較麻煩，求一個二進制數的補碼的簡便方法是：正數的補碼與其原碼相同；負數的補碼是符號位不變，數值位逐位取反（即求其反碼），然後在最低位加1。

例如，[+59]_補=[+59]_原=00111011，而[-59]_原=10111011，因此，[-59]_補= 11000100+1 = 11000101。

注意：0的補碼只有一種形式，就是n位0。

採用補碼錶示法進行加減法運算，比原碼運算方便多了，符號位可以和數值位一起參加運算，而且不論數是正還是負，計算機總是做加法，減法運算可轉換爲加法運算。

4. 反碼

引入反碼的目的是便於求負數的補碼。

正數的反碼與原碼相同，負數的反碼是符號位不變，數值位逐位取反。

例如：[+59]_反=[+59]_原=00111011，而[-59]_原=10111011，因此，[-59]_反=11000100。

注意：0的反碼也有兩個，[+0]_反=00000000，[-0]_反=11111111

在計算機中，求一個數的反碼很容易，因此，求一個數的補碼也就易於實現。

採用補碼運算，計算機的控制線路較爲簡單，所以，目前大多數計算機均採用補碼存儲、補碼運算，其運算結果仍爲補碼形式。

綜上所述，在n位機中，用n位二進制數補碼錶示一個帶符號的整數時，最高位爲符號位，後面n-1位爲數值部分。n位二進制數補碼錶示的範圍爲-2^n-1～+2^n-1-1。例如，在8位機中，補碼錶示的範圍爲-128～+127。

表2-2列出了8位二進制數碼在各種表示形式下的對應真值。

表2-2  8位二進制數的各種表示方法

5）移碼

移碼也稱爲增碼或偏碼，常用於表示浮點數中的階碼。

移碼可由補碼求得，只要把補碼的符號位取反就得到了移碼。

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