【數據結構】二叉樹的原理及實現學習總結

二叉樹概述

數組、向量、鏈表都是一種順序容器，它們提供了按位置訪問數據的手段。而很多情況下，我們需要按數據的值來訪問元素，而不是它們的位置來訪問元素。比如有這樣一個數組int num[3]={1,2,3}，我們可以非常快速的訪問數組中下標爲2的數據，也就是說我們知道這個數據的位置，就可以快速訪問。有時候我們是不知道元素的位置，但是卻知道它的值是多少。假設我們有一個變量，存放在num這個數組中，我們知道它的值爲2，卻不知道它下標是多少，也就是說不知道它的位置。這個時候再去數組中訪問這個元素就比較費勁，就得遍歷數組，而且還要保證數組中沒有重複的元素。

二叉樹在很大程度上解決了這個缺點，二叉樹是按值來保存元素，也按值來訪問元素。怎麼做到呢，和鏈表一樣，二叉樹也是由一個個節點組成，不同的是鏈表用指針將一個個節點串接起來，形成一個鏈，如果將這個鏈“拉直”，就像平面中的一條線，是一維的。而二叉樹由根節點開始發散，指針分別指向左右兩個子節點，像樹一樣在平面上擴散，是二維的。示意圖如下：

二叉樹的定義：

二叉樹是樹形結構的一個重要類型。許多實際問題抽象出來的數據結構往往是二叉樹的形式，即使是一般的樹也能簡單地轉換爲二叉樹，而且二叉樹的存儲結構及其算法都較爲簡單，因此二叉樹顯得特別重要。
二叉樹(BinaryTree)是n(n≥0)個結點的有限集，它或者是空集(n=0)，或者由一個根結點及兩棵互不相交的、分別稱作這個根的左子樹和右子樹的二叉樹組成。
這個定義是遞歸的。由於左、右子樹也是二叉樹， 因此子樹也可爲空樹。下圖中展現了五種不同基本形態的二叉樹。

其中 (a) 爲空樹， (b) 爲僅有一個結點的二叉樹， (c) 是僅有左子樹而右子樹爲空的二叉樹， (d) 是僅有右子樹而左子樹爲空的二叉樹， (e) 是左、右子樹均非空的二叉樹。這裏應特別注意的是，二叉樹的左子樹和右子樹是嚴格區分並且不能隨意顛倒的，圖 (c) 與圖 (d) 就是兩棵不同的二叉樹。

二叉樹的遍歷

對於二叉樹來講最主要、最基本的運算是遍歷。
遍歷二叉樹 是指以一定的次序訪問二叉樹中的每個結點。所謂 訪問結點 是指對結點進行各種操作的簡稱。例如，查詢結點數據域的內容，或輸出它的值，或找出結點位置，或是執行對結點的其他操作。遍歷二叉樹的過程實質是把二叉樹的結點進行線性排列的過程。假設遍歷二叉樹時訪問結點的操作就是輸出結點數據域的值，那麼遍歷的結果得到一個線性序列。
從二叉樹的遞歸定義可知，一棵非空的二叉樹由根結點及左、右子樹這三個基本部分組成。因此，在任一給定結點上，可以按某種次序執行三個操作：
　（1）訪問結點本身(N)，
　（2）遍歷該結點的左子樹(L)，
　（3）遍歷該結點的右子樹(R)。
以上三種操作有六種執行次序：
　NLR、LNR、LRN、NRL、RNL、RLN。
注意：
前三種次序與後三種次序對稱，故只討論先左後右的前三種次序。
　　由於被訪問的結點必是某子樹的根，所以N(Node)、L(Left subtlee)和R(Right subtree)又可解釋爲根、根的左子樹和根的右子樹。NLR、LNR和LRN分別又稱爲先根遍歷、中根遍歷和後根遍歷。

二叉樹的java實現

首先創建一棵二叉樹如下圖，然後對這顆二叉樹進行遍歷操作（遍歷操作的實現分爲遞歸實現和非遞歸實現），同時還提供一些方法如獲取雙親結點、獲取左孩子、右孩子等。

package com.zjn.tree;

import java.util.Stack;

/**
 * 二叉樹的鏈式存儲
 * 
 * @author zjn
 */
public class Tree {

    private TreeNode root = null;

    public Tree() {
        root = new TreeNode(1, "rootNode(A)");
    }

    /**
     * 二叉樹的節點數據結構
     * 
     */
    private class TreeNode {
        private int key = 0;
        private String data = null;
        private boolean isVisted = false;
        private TreeNode leftChild = null;
        private TreeNode rightChild = null;

        /**
         * @param key
         *            層序編碼
         * @param data
         *            數據域
         */
        public TreeNode(int key, String data) {
            this.key = key;
            this.data = data;
            this.leftChild = null;
            this.rightChild = null;
        }

    }

    /**
     * 創建一棵二叉樹
     * 
     * <pre>
     *  
     *           A 
     *     B          C 
     *  D     E            F
     * </pre>
     * 
     * @param root
     * @author WWX
     */
    public void createBinTree(TreeNode root) {
        TreeNode newNodeB = new TreeNode(2, "B");
        TreeNode newNodeC = new TreeNode(3, "C");
        TreeNode newNodeD = new TreeNode(4, "D");
        TreeNode newNodeE = new TreeNode(5, "E");
        TreeNode newNodeF = new TreeNode(6, "F");
        root.leftChild = newNodeB;
        root.rightChild = newNodeC;
        root.leftChild.leftChild = newNodeD;
        root.leftChild.rightChild = newNodeE;
        root.rightChild.rightChild = newNodeF;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return root == null;
    }

    // 樹的高度
    public int height() {
        return height(root);
    }

    // 節點個數
    public int size() {
        return size(root);
    }

    private int height(TreeNode subTree) {
        if (subTree == null)
            return 0;// 遞歸結束：空樹高度爲0
        else {
            int i = height(subTree.leftChild);
            int j = height(subTree.rightChild);
            return (i < j) ? (j + 1) : (i + 1);
        }
    }

    private int size(TreeNode subTree) {
        if (subTree == null) {
            return 0;
        } else {
            return 1 + size(subTree.leftChild) + size(subTree.rightChild);
        }
    }

    // 返回雙親結點
    public TreeNode parent(TreeNode element) {
        return (root == null || root == element) ? null : parent(root, element);
    }

    public TreeNode parent(TreeNode subTree, TreeNode element) {
        if (subTree == null)
            return null;
        if (subTree.leftChild == element || subTree.rightChild == element)
            // 返回父結點地址
            return subTree;
        TreeNode p;
        // 現在左子樹中找，如果左子樹中沒有找到，纔到右子樹去找
        if ((p = parent(subTree.leftChild, element)) != null)
            // 遞歸在左子樹中搜索
            return p;
        else
            // 遞歸在右子樹中搜索
            return parent(subTree.rightChild, element);
    }

    public TreeNode getLeftChildNode(TreeNode element) {
        return (element != null) ? element.leftChild : null;
    }

    public TreeNode getRightChildNode(TreeNode element) {
        return (element != null) ? element.rightChild : null;
    }

    public TreeNode getRoot() {
        return root;
    }

    // 在釋放某個結點時，該結點的左右子樹都已經釋放，
    // 所以應該採用後續遍歷，當訪問某個結點時將該結點的存儲空間釋放
    public void destroy(TreeNode subTree) {
        // 刪除根爲subTree的子樹
        if (subTree != null) {
            // 刪除左子樹
            destroy(subTree.leftChild);
            // 刪除右子樹
            destroy(subTree.rightChild);
            // 刪除根結點
            subTree = null;
        }
    }

    public void traverse(TreeNode subTree) {
        System.out.println("key:" + subTree.key + "--name:" + subTree.data);
        traverse(subTree.leftChild);
        traverse(subTree.rightChild);
    }

    // 前序遍歷
    public void preOrder(TreeNode subTree) {
        if (subTree != null) {
            visted(subTree);
            preOrder(subTree.leftChild);
            preOrder(subTree.rightChild);
        }
    }

    // 中序遍歷
    public void inOrder(TreeNode subTree) {
        if (subTree != null) {
            inOrder(subTree.leftChild);
            visted(subTree);
            inOrder(subTree.rightChild);
        }
    }

    // 後續遍歷
    public void postOrder(TreeNode subTree) {
        if (subTree != null) {
            postOrder(subTree.leftChild);
            postOrder(subTree.rightChild);
            visted(subTree);
        }
    }

    // 前序遍歷的非遞歸實現
    public void nonRecPreOrder(TreeNode p) {
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
        TreeNode node = p;
        while (node != null || stack.size() > 0) {
            while (node != null) {
                visted(node);
                stack.push(node);
                node = node.leftChild;
            }
            while (stack.size() > 0) {
                node = stack.pop();
                node = node.rightChild;
            }
        }
    }

    // 中序遍歷的非遞歸實現
    public void nonRecInOrder(TreeNode p) {
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<Tree.TreeNode>();
        TreeNode node = p;
        while (node != null || stack.size() > 0) {
            // 存在左子樹
            while (node != null) {
                stack.push(node);
                node = node.leftChild;
            }
            // 棧非空
            if (stack.size() > 0) {
                node = stack.pop();
                visted(node);
                node = node.rightChild;
            }
        }
    }

    // 後序遍歷的非遞歸實現
    public void noRecPostOrder(TreeNode p) {
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<Tree.TreeNode>();
        TreeNode node = p;
        while (p != null) {
            // 左子樹入棧
            for (; p.leftChild != null; p = p.leftChild) {
                stack.push(p);
            }
            // 當前結點無右子樹或右子樹已經輸出
            while (p != null && (p.rightChild == null || p.rightChild == node)) {
                visted(p);
                // 紀錄上一個已輸出結點
                node = p;
                if (stack.empty())
                    return;
                p = stack.pop();
            }
            // 處理右子樹
            stack.push(p);
            p = p.rightChild;
        }
    }

    public void visted(TreeNode subTree) {
        subTree.isVisted = true;
        System.out.println("key:" + subTree.key + "--name:" + subTree.data);
    }

    // 測試
    public static void main(String[] args) {
        Tree bt = new Tree();
        bt.createBinTree(bt.root);
        System.out.println("the size of the tree is " + bt.size());
        System.out.println("the height of the tree is " + bt.height());

        System.out.println("*******(前序遍歷)[ABDECF]遍歷*****************");
        bt.preOrder(bt.root);

        System.out.println("*******(中序遍歷)[DBEACF]遍歷*****************");
        bt.inOrder(bt.root);

        System.out.println("*******(後序遍歷)[DEBFCA]遍歷*****************");
        bt.postOrder(bt.root);

        System.out.println("***非遞歸實現****(前序遍歷)[ABDECF]遍歷*****************");
        bt.nonRecPreOrder(bt.root);

        System.out.println("***非遞歸實現****(中序遍歷)[DBEACF]遍歷*****************");
        bt.nonRecInOrder(bt.root);

        System.out.println("***非遞歸實現****(後序遍歷)[DEBFCA]遍歷*****************");
        bt.noRecPostOrder(bt.root);
    }
}