首先，字母表，即Alphabet，是一個有限的符號集合。
然後，串(string) 是該字母表 的一個有窮序列。
舉個簡單的例子，集合{0,1}是一個二進制字母表(Binary Alphabet)，可以取這個字母表裏面的元素組成串，即01序列。
我們通常將串的長度記做 |s|，空串是長度爲0的串，記做 ϵ。
語言(Language) 是某個給定的字母表上任意一個可數的串的集合。
也即，字母表 裏的符號組成 串 ，各個 串 的集合叫做 語言。
對於串來說，我們有如下的一些術語：
1）串的前綴(prefix) 是 從串s的頭部取0個或多個符號形成的新串
如串a、串ap是串apple的前綴。
2）串的後綴(suffix) 是 從串s的尾部取0個或多個符號形成的新串
如串e、串le是串apple的前綴。
3）串的子串(substring)是刪除串s的某個前綴和某個後綴形成的新串。
4）串的真前綴、真後綴、真子串是既不包含空串ϵ，也不包含s本身的前綴、後綴、子串。
5）串的子序列是從串s任意按順序地取出符號形成地串。如子序列apple可以是al、pe、appe、apple。
我們定義串x與串y的連接運算是將串y附加到串s後面，記做xy，也可以看作是x與y的乘法運算。
如x=dog,y=house,那麼xy=doghouse
對於連接運算有如下性質：對於任意的串s，都有：ϵs=sϵ=s
串的 “指數運算” 如下：
定義s0=ϵ,si=si-1s,那麼有s1=s,s2=ss,s3=s2s=sss,…,sn=ssss…ssss(n個s)
語言的運算規則
設L、M是兩種語言，有：
L和M的並：L∪M = { s | s ∈ L 或 s∈M }
L和M的連接：LM = { xy | x ∈ L 且 y∈M}
兩種語言的連接就是，從語言L任取一個串，與從語言M任取的串連接起來的所有可能的串的集合。舉個例子，假設L={ab,cd},M={12,34},那麼LM={ab12,ab34,cd12,cd34}。
L的正閉包:L+=U∞i=1Li
L+=U∞i=1Li=L1∪L2∪…∪L∞
爲了解讀正閉包的定義，我們先來看Li怎麼計算。
由於LM = { xy | x ∈ L 且 y∈M},如果我們令M=L,我們可以得到L2={ xx | x ∈ L },L3=LL2={ xxx | x ∈ L },L4=LL3={ xxxx | x ∈ L }
由上面歸納得到：Li={ xxx…xxx | x ∈ L } (i個x) ={ xi | x ∈ L }。也就是說，L的i次方Li實際上就是L裏面隨意取i個串連接起來，其連接後所有可能得到的串的集合。舉個簡單的例子，令L={‘0’，‘1’，‘2’，‘3’，‘4’，‘5’，‘6’，‘7’，‘8’，‘9’}，這個語言由9個串組成，每個串含有一個符號。那麼L3表示的是所有可能的三位數集合，如{‘012’,‘252’,…}。
搞懂了Li的含義之後，看正閉包的定義就簡單了。正閉包的定義如下：
L+=U∞i=1Li=L1∪L2∪…∪L∞
可以觀察到，L的正閉包其實就是，從L裏面隨意取出串，拼接成所有可能長度(長度至少爲1)的串的集合。應用上面的例子L={‘0’，‘1’，‘2’，‘3’，‘4’，‘5’，‘6’，‘7’，‘8’，‘9’}，那麼L的正閉包L+表示的就是所有能夠表示出來的數字的集合，如{‘1’,‘8’,‘12’,‘01’,‘789’,‘948357’,…}請注意，正閉包的定義裏不包含L0={s0}=ϵ，也就是說，正閉包不包含空串ϵ。
L的Kleene閉包：L*=U∞i=0
L∞=U∞i=0Li=L0∪L1∪L2∪…∪L∞
可以看到，L的Kleene閉包和正閉包的區別僅僅在於多了個L0,也就是說，Kleene閉包僅僅是在正閉包的基礎上加入了空串。
再次應用上面的例子L={‘0’，‘1’，‘2’，‘3’，‘4’，‘5’，‘6’，‘7’，‘8’，‘9’}，那麼L*={ϵ,‘1’,‘8’,‘12’,‘01’,‘789’,‘948357’,…}
