Best Time to Buy and Sell Stock IV

leetcode中的股票問題（4）

第四題還是有點難的，特別是在連續完成前3題後，思路可能就頓時侷限了，主要參考別人的實現，我這裏做一些分析。
https://leetcode.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/

原題

Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i .
Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most k transactions.
翻譯：和前一題基本一樣，只是從最多2手交易改成了最多k 手交易。

問題分析

這裏我的直覺就是用動態規劃來解決這個問題，但是具體怎麼做呢？
很容易想到的就是維護變量profit(i,j) ，這裏i 和j 表示在i天最多做j手交易。
profit(i,j)=Max(profit(i−1,j),profitAt(i,j))
其中profitAt(i,j) 表示，在第i天一定要發生交易的情況下最多做j手交易的最大收益（有點拗口，吼吼吼），因爲這樣才能對profit(i,j) 做一個合理的劃分。
而profitAt(i,j) 呢？怎麼遞推呢？
我們說profitAt(i,j)=Max(profit(i−1,j−1)+Max(0,diff),profitAt(i−1,j)+diff) ，其中diff=price(i)−price(i−1)
怎麼理解呢，同樣是要做一個劃分，既然第i天必定有交易（必定有賣出行爲），那我對這一手的買進時間做這樣劃分：買進時間>=i−1 或者<i−1 ，對於>=i−1 的情況，在i−1 天之前就完成j−1 手交易，而最後一次買賣的收益是Max(0,diff) ；對於<i−1 的情況，我們完全可以用profitAt(i−1,j)+diff) 來遞推，直接加上diff 的原因是將原本在第i−1 天賣掉的股票移到第i天賣掉，直接加上這兩天的差價就行！
然後就很簡單了，直接上代碼。
下面的代碼中 global就是profit()函數，而local就是profitAt()函數。

代碼

public int maxProfit(int k, int[] prices) {
    if(prices==null || prices.length==0)
            return 0;
    //如果k>一半天數，問題退化成問題（3）了
    if(k > prices.length/2)
    {
        int sum =0;
        for(int i = 0 ; i < prices.length-1 ; i++)
        {
            int gain = prices[i+1] - prices[i];
            if(gain > 0)
                sum += gain;
        }
        return sum;
    }

    int[][] global=new int[prices.length][k+1];
    int[][] local=new int[prices.length][k+1];
    for(int i=0;i<prices.length-1;i++)
    {
        int diff=prices[i+1]-prices[i];
        for(int j=0;j<=k-1;j++)
        {
            local[i+1][j+1]=Math.max(global[i][j]+Math.max(diff,0),local[i][j+1]+diff);
            global[i+1][j+1]=Math.max(global[i][j+1],local[i+1][j+1]);
        }
    }
    return global[prices.length-1][k];
}

接下來我們會去看看在leetcode中和數組以及鏈表的“rotate”操作相關的幾個問題~