卡特蘭數
- 遞推關係:
它也滿足
- 這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數。
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卡特蘭數的應用
- n個元素順序入棧,出棧順序有多少種
令1表示進棧,0表示出棧,則可轉化爲求一個2n位、含n個1、n個0的二進制數,滿足從左往右掃描到任意一位時,經過的0數不多於1數。顯然含n個1、n個0的2n位二進制數共有個,下面考慮不滿足要求的數目。
考慮一個含n個1、n個0的2n位二進制數,掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1(容易證明一定存在這樣的情況),則後面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以後的部分0變成1、1變成0,則對應一個n+1個0和n-1個1的二進制數。
反過來,任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進制數,由於0的個數多2個,2n爲偶數,故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換,使之成爲由n個0和n個1組成的2n位數,即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應一個不符合要求的數。
因而不合要求的2n位數與n+1個0,n-1個1組成的排列一一對應。 顯然,不符合要求的方案數爲c(2n,n+1)。
從而。證畢。
- 括號化問題
- 出棧次序問題
2、有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票,另外n人只有10元鈔票,劇院無其它鈔票,問有多少中方法使得只要有10元的人買票,售票處就有5元的鈔票找零?(將持5元者到達視作將5元入棧,持10元者到達視作使棧中某5元出棧)。
- 將多邊行劃分爲三角形問題
2、一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越(但可以碰到)從家到辦公室的對角線,那麼有多少條可能的道路?
3、在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
- 給頂節點組成二叉樹的問題
一些筆試題
1、16個人按順序去買燒餅,其中8個人每人身上只有一張5塊錢,另外8個人每人身上只有一張10塊錢。燒餅5塊一個,開始時燒餅店老闆身上沒有錢。16個顧客互相不通氣,每人只買一個。問這16個人共有多少種排列方法能避免找不開錢的情況出現。
h(8)=16!/(8!*9!)=1430,所以總數=h(8)*8!*8!=16!/9
2、在圖書館一共6個人在排隊,3個還《面試寶典》一書,3個在借《面試寶典》一書,圖書館此時沒有了面試寶典了,求他們排隊的總數?
h(3)=6!/(3!*4!)=5,所以總數=h(3)*3!*3!=180