poj -- 1637 Sightseeing tour(混合图欧拉回路)

给一个n个顶点，m条边（既有有向边又有无向边）。求图中是否存在欧拉回路。

http://poj.org/problem?id=1637

用最大流求解。

把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以2，得x。即是说，对于每一个点，只要将x条边反向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。
现在的问题就变成了：该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。有向边不能改变方向，所以不用考虑（在求出度和入度时是要考虑的）。开始已定向的无向边，定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同。）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。查看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

//#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")
#include <map>
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#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

#define pb push_back
#define MP make_pair
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1

const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1000000007;
const int maxn = 500000 + 10;

///init是初始化要在加边之前初始化，然后调用max_flow(顶点数，边数，源点， 汇点)
const int maxv = 200 + 10;///顶点个数
const int maxe = 10000 + 10;///边数
struct node{
    int v, cap, next;
}edge[maxe];
int head[maxv], cnt;
int n, m;///n是节点个数，m是边数
int st, ed;///st是源点，ed是汇点
int gap[maxv], h[maxv], d[maxv];
void addedge(int u, int v, int w){///有向图加边
    edge[cnt].v = v; edge[cnt].cap = w; edge[cnt].next = head[u]; head[u] = cnt++;///正向边
    edge[cnt].v = u; edge[cnt].cap = 0; edge[cnt].next = head[v]; head[v] = cnt++;///反向边
}
int dfs(int x, int cost){
    if(x == ed) return cost; ///当前节点是汇点，直接返回cost

    int can = cost, d, minh = n - 1;
    for(int i=head[x]; ~i; i=edge[i].next){
        int v = edge[i].v, w = edge[i].cap;
        if(w > 0){///如果这条边的容量大于0
            if(h[v] + 1 == h[x]){///如果这是允许弧
                if(can > w) d = w;///如果当前弧的容量小于之前可增广的容量
                else d = can;

                d = dfs(v, d);///从v开始可增广的容量为d

                ///更新弧的容量和可增广的容量
                edge[i].cap -= d;
                edge[i ^ 1].cap += d;
                can -= d;

                if(h[st] >= n) return cost - can;
                if(!can) break;///不能再继续增广
            }
            if(h[v] < minh) minh = h[v];///更新最小标号
        }
    }
    if(can == cost){///如果没有增广...GAP
        gap[h[x]]--;
        if(gap[h[x]] == 0) h[st] = n;///存在断层，没有增广路了
        h[x] = minh + 1;///重新标记，保证下次再访问的时候有流量
        gap[h[x]]++;
    }
    return cost - can;///在这个点之前可以增广的 - 访问这个点之后可以增广的 = 在这个点增广的容量
}
int max_flow(int N, int M, int source, int sink){///SAP+GAP优化
    n = N; m = M;
    st = source; ed = sink;
    gap[0] = n;///初始有n个节点标号为0
    int ret = 0;
    while(h[st] < n){
        ret += dfs(st, inf);
    }
    return ret;
}
void init(){
    memset(head, -1, sizeof(head)); cnt = 0;
    memset(h, 0, sizeof(h));///h[i]表示i节点的标号
    memset(gap, 0, sizeof(gap));///gap[i]表示标号为i的节点个数
}

int in[maxv], out[maxv];
int T, N, M;
int main(){
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d%d", &N, &M);
        init();
        memset(in, 0, sizeof(in));
        memset(out, 0, sizeof(out));
        int sum = 0, x, bian = 0;
        for(int i=0; i<M; i++){
            int u, v, w;
            scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
            if(w == 0)addedge(u, v, 1), bian++;
            in[v]++; out[u]++;
        }
        bool flag = true;
        for(int i=1; i<=N; i++){
            x = abs(in[i] - out[i]);
            if(x & 1) {flag = false; break;}
            if(in[i] > out[i]) addedge(i, N + 1, x / 2), bian++, sum += x / 2;
            else if(out[i] > in[i]) addedge(0, i, x / 2), bian++;
        }
        if(flag && sum == max_flow(N + 2, bian, 0, N + 1)) puts("possible");
        else puts("impossible");
    }
    return 0;
}

顺便。。。。

若有向图G存在欧拉回路，则G联通，对于所有顶点入度 = 出度。

若无向图G存在欧拉回路，则G联通，所有顶点度为偶数。