前言

一本數學競賽題庫從初一刷到初三，都沒刷多少，刷得最多的時候還是初一上的時候，太TM羞恥了
我要改過自新，重新做人

遇到這種題，第一步就要發現180 - 135 = 45， 180 - 120 = 60，所以肯定要用外角，所以延長CB，BC，然後過點A,D做兩條垂線就好了
不算難

剛碰到這種題的時候肯定是會有點蒙的，但是可以一步步來
找關鍵詞：正整數，說明肯定是要把x,y限定在一個範圍內
先看式子，可以發現 $\frac{1}{x} < \frac{3}{7}$ ,又因爲x爲正整數，所以 $x>=3$
同理 $y>=3$
首先原式可以變爲 $3xy=7x+7y$
對於這種題肯定是要把所有數移到一邊的
即 $3xy-7x-7y=0$
想要配方，但是3,7互質怎麼辦？
先×3
可變爲 $9xy-21x-21y=0$
$(3x-7)(3y-7)-49=0$
$(3x-7)(3y-7)=49$
又因爲 $x>=3,y>=3$
所以(3x-7)和(3y-7)只能爲7，顯然無解
所以就是無解

這種題有種幾乎通用的解法就是用其他的數表示當前的數，也可以用換元法
因爲x/(y+z) + y/(z+x) +z/(x+y)=1
所以x/(y+z)=1-y/(z+x)-z/(x+y)，兩邊同乘以x
得x^2/(y+z)=x-xy/(z+x)-xz/(x+y)
同理y^2/(x+z)=y-xy/(z+y)-yz/(x+y)
,z^2=z-xz/(y+z)-yz/(x+z)
原式=x+y+z-(xy+zy)/(x+z)-(xz+yz)/(x+y)-(yx+zx)/(y+z)
=x+y+z-y-z-x
=0
反正慢慢推就行了

見到中線，大部分解法：倍長中線法

這題就連接四邊形對角線，然後一般是有兩對相似，但有CB=CD後就多了兩對相似，然後根據相似來推推就行了

遇到這種題不要急着枚舉，也是可以用一個數表示其他數的方法來解

$如設三本書的數量分別是a,b,c$
$可得a+b+c=30,10a+15b+20c=500$
$把c當做常數，然後把a,b解出來得$
$x=z-10, y=40-2z$
$通過x>=0,y>=0可得10<=z<=20$
即有11種
是在不行暴力枚舉也罷

剛見到這題的時候肯定是有點蒙的，包括我也是
但是通過上面那些題的經驗我們知道肯定也是要用換元法
$設a^5=b^2=m^{10},c ^3=d^4=n^{12}$
$m^2-n^4=319, 319 = 1* 319 = 11 *29$
然後這題就簡單了

還是換元大法好

排版出了點小問題，問題不大

這題看見比把它轉換爲相似就好了
把圖丟出來吧

然後就簡單啦

好惡心這題
$首先肯定也是換元，把上面那個東西設爲k，然後推來推去，得到a^2b^2c^2=8，最後在推推推推就行了$

一開始看肯定會無從下手，對於這種不知從那裏入手的題可以先取前幾項，然後這題就沒了
哈哈

首先肯定是把轉換爲用一個字母表示出來
但對於這種有二次項的卻又是不同字母相乘的怎麼轉換呢？
通過平方和公式我們知道 $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$
$(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$
$可得(a+b)^2>=4ab$
$ab<=\frac{1}{4}(a+b)^2$
這題用這個就行了