有倆個數p,q,且gcd(q,p)（最大公約數）=1,則最大無法表示成px+qy（x>=0,y>=0)的數是pq-q-p（對於n>pq-q-p,都可以表示成px+qy；而pq-q-p,就無法表示成px+qy）。
x>=0,y>=0很重要。
例p=4，q=5的情形(最大不能表示的數是11)
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1.
假設可以表示爲pq-q-p
那麼
px+qy=pq-q-p
p(x+1)+q(y+1)=pq
p|y+1, q|x+1 //整除
又p(x+1),q(y+1)<=pq
有(x+1=kq且y+1=(1-k)q)或(x+1=(1-k)p,且y+1=kp),k是正整數
但是x,y>=0故pq-q-p,就無法表示成px+qy
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2.
(p-1)(q-1)=pq-p-q+1
對於n>pq-q-p即n>=(q-1)(p-1)
gcd(p,q)=1
對於z<min{p,q}存在a,b使得ap+bq=z
不妨設a>0>b,顯然a>0
那麼如果a>q,取a1=a-q,b1=b+p
那麼有a1*p+b1*q=z.
如果a1>q，可以繼續以得到
Ap+Bq=z,且0<|A|<q,0<|B|<p
pq-p-q=(p-1)q-q=(q-1)p-p
對於n>pq-q-p
n=pq-q-p+k*min{p,q}+r
r<z<min{p,q}
那麼取A,B
Ap+Bq=r,且0<|A|<q,0<|B|<p
不妨設A>0
n=pq-q-p+k*min{p,q}+r
=(q-1)p-p+k*min{p,q}+Ap+Bq
=(A-1)p+(B+q-1)p+k*min{p,q}
其中(A-1),(B+q-1)>=0
那麼無論min{p,q}是p還是q，都有
對於n>pq-q-p,都可以表示成px+qy
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請問;不能表示成5x+3y(x,y爲非負整數)的最大整數是？自學考試初等數論中的題.
答案是7 顯然在1~10中，符合題意的最大數爲7，對於更大的數，顯然不能是3或5的倍數，而任意的數模3餘1或2，餘1的，可以將3×3＋1換成5×2，餘2的，可以將3＋2換成5，通過這種變換可以將十以上的數都變成5x＋3y這種形式，所以滿足題意的數是7
