【筆記篇】最良心的計算幾何學習筆記（二）

依然放上本文的github地址…

作業QwQ

先來說一下上次留下的例題.
poj這道題並沒有實數比較模式..
所以被精度勢力幹翻.
交上去WA掉竟然是因爲-0.00和0.00不相等?
根據對拍結果別的地方應該沒什麼問題了OvO
下面給出並不能AC的“正確”代碼:

#include <cstdio>
#include <cmath>
const double eps=1e-8;
inline int dcmp(const double &a){
    if(fabs(a)<eps) return 0;
    return a<0?-1:1;
}
int errr=0;
inline int gn(int a=0,char c=0,int f=1){
    for(;(c<48||c>57)&&c!='-';c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>47&&c<58;c=getchar())a=a*10+c-48;return a*f;
}
struct vec{
    double x,y;
    vec(double p=0,double q=0):x(p),y(q){}
};
double operator *(const vec &a,const vec &b){
    return a.x*b.y-a.y*b.x;
} //向量運算只需要叉乘
inline vec Cut(const vec &p0,const vec &p1,const vec &q0,const vec &q1){
    errr=0;
    double a1,b1,c1,a2,b2,c2,d;
    a1=p1.y-p0.y; b1=p0.x-p1.x; c1=p0*p1;
    a2=q1.y-q0.y; b2=q0.x-q1.x; c2=q0*q1;
    d=a1*b2-a2*b1;
    if(!dcmp(d)){ //斜率相等
        if(!dcmp(c1/a1-c2/a2)) errr=1; //平行
        else errr=-1;   //重合
        return vec(0,0);
    }
    return vec((b2*c1-b1*c2)/d,(a1*c2-a2*c1)/d);
}
int main(){
    int T=gn(); vec a[4];
    puts("INTERSECTING LINES OUTPUT");
    while(T--){
        for(int i=0;i<4;++i) a[i].x=gn(),a[i].y=gn();
        vec s=Cut(a[0],a[1],a[2],a[3]);
        if(errr<0) puts("NONE"); else if(errr>0) puts("LINE");
        else printf("POINT %.2lf %.2lf\n",s.x,s.y);
    }
    puts("END OF OUTPUT");
}

新課OvO

這次學學多邊形…
多邊形就是多個點首尾順次相接圍成的圖形.

多邊形分爲凹多邊形和凸多邊形.
大家見到的比較美觀的多邊形都是凸多邊形, 比如正方形一類的.
它們的特點是~~比較可愛~~ 任取一條邊, 整個圖形都在這條邊所在直線的一側.

而凹多邊形則是不可愛滿足這一點的多邊形.

多邊形的形式非常的多, 我們通常用一個儲存了所有頂點座標的數組來表示多邊形.
關於多邊形有如下常見的問題:

判斷點是否在多邊形內部

這是一個非常經典的問題, 導致出現了很多種解法.

射線法(交叉法)

以該點爲起點, 做一條射線(一般方向取水平向右), 計算與多邊形交點的奇偶性.

可以看到多邊形內部的點爲起點做的射線與多邊形的交點個數是奇數, 而以外部的點爲起點做的射線與多邊形的交點個數是偶數.
想法雖然很美好, 但是很顯然, 這樣做如果交點恰好是某個頂點就會出現問題.
這樣我們就需要新的定義.
一種標準的做法是, 在左側或者下邊的點屬於內部，在右側或者頂邊的點在外部.(就是計左不計右或計下不計上辣~)
這樣有公共的邊界線段的兩個多邊形就不能擁有公共點(起碼我們不視爲這樣)
在這裏我們的交叉法有一個專用的邊緣交叉規則:

一條向上的邊包括它的起始點, 不包括它的終止點.(記下不記上)
一條向下的邊不包括它的起始點, 包括它的終止點.(記上不記下)
不計所有水平的邊. (既不上也不下的特殊情況不予考慮)
交點必須嚴格出現在P的右側. (右邊界屬於外部, 左邊界屬於內部)

舉個栗子, 交點是頂點的情況大約有下面幾種:

根據邊緣交叉規則, 綠色的點纔是滿足條件的交點.
我們可以很容易的寫出算法流程:

設點的座標爲(x0,y0) ,
遍歷多邊形的每一條邊e
看線段e是否跨立直線y=y0 .
根據向上還是向下分別判斷是否符合#1 #2 #3
求出e與直線y=y0 交點的橫座標x , 跟x0 比較, 如果x>x0 (滿足#4), 則ans++ .
判斷ans 的奇偶性, 奇數則在內部, 偶數則在外部.

一道本子……啊呸板子題.. 稀有的hdu中文題目…
雖然題目描述並不是太嚴謹, 但是~~數據水啊~~, 但是題意很精煉.
剛纔分析那麼多了直接貼代碼吧.(這個題1A了就很爽..

#include <cmath> 
#include <cstdio>
#include <cstring>
const double eps=1e-9;
int dcmp(const double &a){
    if(fabs(a)<eps) return 0;
    return a<0?-1:1;
}
struct point{
    double x,y;
}poly[202],pt;
double operator *(const point &a,const point &b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
//求p0p1兩點確定的直線和直線y=y0的交點 
double Cutx(const double &y0,const point &p0,const point &p1){
    return ((y0-p0.y)*p1.x+(p1.y-y0)*p0.x)/(p1.y-p0.y);
}
//交叉法判斷點是否在多邊形內
//參數p表示點 pts表示多邊形的頂點集 pcnt表示頂點數 
bool cn_ptInPoly(const point &p,point *pts,int pcnt){
    pts[pcnt]=pts[0]; int cnt=0;
    for(int i=1;i<=pcnt;++i)
        if(((dcmp(pts[i].y-p.y)>0&&dcmp(pts[i-1].y-p.y)<1)      //#1
            ||(dcmp(pts[i].y-p.y)<1&&dcmp(pts[i-1].y-p.y>0)))   //#2(#3)
            &&(dcmp(p.x-Cutx(p.y,pts[i],pts[i-1]))<0))          //#4
            ++cnt; //交點計數一次 
    return cnt&1; //交點奇數時在內, 偶數時在外.
}
int main(){
    int n,m;
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(poly,0,sizeof(poly));
        for(int i=0;i<n;++i) scanf("%lf%lf",&poly[i].x,&poly[i].y);
        scanf("%d",&m);
        for(int i=0;i<m;++i) {
            scanf("%lf%lf",&pt.x,&pt.y);
            puts(cn_ptInPoly(pt,poly,n)?"Yes":"No");
        } 
    }
}

這裏的話唯一沒有說的就是求交點了.
首先經歷了一波特判我們知道一定是有且只有一個交點的..
而且縱座標知道了只需要求橫座標, 就是解析幾何化式子的過程了…
我們這裏讓點p 的座標爲(xp,yp) , 線段兩端點分別是(x0,y0),(x1,y1) .
因爲是求交點所以日常聯立.. ~~根據必修二所學知識~~, 我們直線方程可以設兩點式.

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ y = y p x p - x 0 x 1 - x 0 = y - y 0 y 1 - y 0

然後將①代入②, 隨便(???)化一波式子得到

x p = x = ( y p - y 0 ) x 1 + ( y 1 - y p ) x 0 y 1 - y 0

或者什麼其他式子也可以..只要能算就行..然後就可以了..

這個算法比較簡單好用, 而且速度也不錯. 時間複雜度是O(n) 的.. 也比較常用.

繞數法

這個射線法已經是比較好用多了, 但是有一個缺陷..
多邊形還有一種分類是簡單和非簡單…
非簡單多邊形長得就比凹多邊形更爲難受…
它們竟然會自我重疊…
就像這樣…(圖中的數字表示頂點的順序)

這個多邊形就很”不簡單”.. 因爲黃色的區域自我重疊了..
我知道這樣非常的不好看, 但是就是有這樣的圖形我也很絕望啊←_←
然後再用射線法的時候就會出現一些問題..

你看這樣一統計.. 交點個數是偶數 所以在外面?! 這樣就出問題了…
那我們該怎麼辦?? 辦法總比問題多, 我們可以再想有沒有別的方法嘛…
有一種神奇的操作, 我們可以計算多邊形繞某個點繞過的角度…

雖然畫的有點亂,但是還是可以跟着紫色箭頭看一下的..
先從這個點向每個頂點做射線, 然後從1繞一圈繞回1. 看轉過的角度是不是0.
這個點在外部, 當且僅當繞過的角度是0.(其實就是沒繞嘛, 這麼就好理解了)
很明顯圖中的角度是2π 而不是0, 所以在內部.
在外部的點就是0了.像這樣:

可以看到, 黃色區域的點也可以被判斷到內部(不過繞了兩圈)

那我們如何統計呢?
因爲都是向量的夾角, 我們又想到了點積. 我們最後要求的就是

\sum i = 0 n - 1 a r c c o s (P V i \to P V i + 1 \to | P V 1 \to | | P V i + 1 \to |)

但是這裏我們用到了一個昂貴的函數arccos, 這樣運行會變慢, 而且精度會受到影響.
或許最初這也就是繞數法不如射線法常用的原因?(據說可能會慢20倍?)
所以我們要考慮優化.
我也不知道誰想出了一種天才的優化方式..
這種方式借鑑了射線法, 依然做一條射線, 經過上行邊時, 計數器+1; 經過下行邊時, 計數器-1, 最後看計數器是否爲0, 爲0則點在多邊形外, 否則點在多邊形內.

舉個栗子:

圖上數得很清楚了自己看看就能懂..
但是還有一些細節問題..
比如邊界問題.. 見上面的邊緣交叉規則即可..
在這裏我們沒有必要求出交點的座標, 我們只需要判斷交點會不會在定點的右邊,
所以我們彙總一下一共有這幾種情況:

對於上行邊來說, 邊的起始點指向定點的向量要在邊的逆時針方向; 對於下行邊來說, 則要在順時針方向, 這樣我們一點積就出來了..
還是給出hdu1756的代碼(又是1A哈哈哈哈

#include <cmath> 
#include <cstdio>
#include <cstring>
const double eps=1e-9;
int dcmp(const double &a){
    if(fabs(a)<eps) return 0;
    return a<0?-1:1;
}
struct point{
    double x,y;
    point(double X=0,double Y=0):x(X),y(Y){}
}poly[202],pt;
point operator -(const point &a,const point &b){return point(a.x-b.x,a.y-b.y);}
double operator *(const point &a,const point &b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
//繞數法確定點是否在多邊形內 
bool wn_ptInPoly(const point &p,point *pts,int pcnt){
    pts[pcnt]=pts[0]; int cnt=0;
    for(int i=1;i<=pcnt;++i)
        if((dcmp(pts[i].y-p.y)>0&&dcmp(pts[i-1].y-p.y)<1)       //#1(#3) 
            &&dcmp((p-pts[i-1])*(pts[i]-pts[i-1]))<0)           //#4逆時針 
            ++cnt; 
        else if((dcmp(pts[i].y-p.y)<1&&dcmp(pts[i-1].y-p.y)>0)  //#2(#3) 
            &&dcmp((p-pts[i-1])*(pts[i]-pts[i-1]))>0)           //#4順時針
            --cnt;
    return cnt; //只要不爲0 
}
int main(){
    int n,m;
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(poly,0,sizeof(poly));
        for(int i=0;i<n;++i) scanf("%lf%lf",&poly[i].x,&poly[i].y);
        scanf("%d",&m);
        for(int i=0;i<m;++i) {
            scanf("%lf%lf",&pt.x,&pt.y);
            puts(wn_ptInPoly(pt,poly,n)?"Yes":"No");
        } 
    }
}

不過竟然跑了15ms 不知道爲什麼跟射線法的0ms還有一定差距..
所以簡單的多邊形還是跑射線法似乎靠譜一點…
不過出於正確性的考慮, 如果不保證多邊形簡單的話, 還是要用繞數的..

二分法

我們之前說過, 凸多邊形非常的美觀.
美觀的圖形就一定要有美觀的性質.
於是我們有一種特殊的判斷點在凸多邊形內的方法.

我們來看這張圖, 第一步, 我們可以做一個”快速排斥實驗”.
(P.S. 以下均假設點按照逆時針方向給出, 順時針請~~自求多福~~做個對稱..)
判斷一下PV0→ 與PV1→ 和PV8→ 的順逆時針關係.
如果在∠V1V0V8 之外的話就不需要考慮了(因爲是凸多邊形).
然後我們在1∼8 之間二分, 每次判斷順逆時針關係.
就可以在O(logn) 時間內確定是在∠ViV0Vi+1 內了.
然後我們再O(1) 判斷P 點在ViVi+1→ 左側還是右側(用叉積)就好了~
(沒找到裸題TAT 那就只能幹寫了正確性就不敢說了喲~)

//二分確定點是否在凸多邊形內
//P.S. 假設點以逆時針給出 
bool ptInConvexPoly(const point &p,point *pts,int pcnt){
    point po=p-pts[0]; //比較常用,所以存一下 
    if(dcmp(po*(pts[1]-pts[0]))>0
        ||dcmp(po*(pts[pcnt-1]-pts[0]))<0)
        return false;  //"快速排斥"一波
    int l=1,r=pcnt-1;
    while(r-l>1){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(!dcmp(po*(pts[mid]-pts[0]))<0) //逆時針方向
            l=mid;
        else r=mid;
    }
    return dcmp((p-pts[l])*(pts[l+1]-pts[l]))<0; //在邊的左側 
}

然後完整的代碼依然去github找好了…

最後發現自己其實一天只學了判斷點在多邊形內..
心情複雜…

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