樹型結構

前言

樹型結構在生活中是非常常見的一種結構，應用範圍很廣，就用一個簡單的例子來說。計算機中的文件目錄就是一個樹型結構，一般創建一個文件，如果文件中沒有文件那麼就相當於一個空樹，如果裏面有文件，就相當於這個文件的子樹，以此類推，就形成了樹型結構的文件目錄。
在學習中我們主要學習二叉樹的一些特性，把樹細化學習。

二叉樹的概念

二叉樹是結點的有限集合，該集合或者爲空，或者由一個
根節點加上兩顆對稱的左子樹和右子樹的二叉樹組成。
二叉樹的每個結點上最多有兩個子樹
二叉樹有五種形態，及只有根結點，空樹，只有左子樹，只有右子樹，左右子樹都有。

二叉樹的分類

二叉樹有完全二叉樹和滿二叉樹兩種

滿二叉樹是所有分支節點都存在左右子樹，並且葉子結點在同一層上。
完全二叉樹是具有N個結點的二叉樹的結構與滿二叉樹前N個結點的結構相同

怎麼理解呢？

左圖爲滿二叉樹，有圖爲完全二叉樹。

二叉樹性質
二叉樹最大結點數：若規定只有一個根結點的時候，深度爲1，那麼深度爲K的樹，最大結點數爲 (2^K) -1 (K>=0)
二叉樹的第i層上的結點數：若規定只有一個根結點的時候，層數爲1，那麼一顆非空樹的第i層最多有 2^(i-1) (i>0）
葉子結點和非葉子結點的關係：對於任何一顆二叉樹，如果葉子結點個數爲N0，度爲2的非葉子結點個數爲N1，則有 N1 = N0 + 1；
關於完全二叉樹的深度：具有N結點的二叉樹的的深度K爲log2（n+1）上取整數

順序存出中父結點和子結點的關係:子結點要找到對應的父結點，(i - 1)/2;父找到左孩子i*2 + 1；找到右孩子i*2 + 1；

二叉樹的創建

創建一顆二叉樹，以順序表，通過先序遍歷的方式還原一顆二叉樹（順序表中必須有標識NULL的特殊字符存在）
具體思路是採用遞歸的方式，用一個index來記錄樹創建過程中創建到數組中的哪個位置，遞歸的用先序遍歷的方式去創建。
具體代碼：

// 創建一個結點
TreeNode* CreateTreeNode(TreeType value)
{
 TreeNode* new_node = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
 // 用assert來判斷new_node空間是否開闢成功。
 // 在這裏我們直接讓程序掛掉。（不同場景處理方式不同）
 assert(new_node);
 new_node->data = value;
 new_node->lchild = NULL;
 new_node->rchild = NULL;
 return new_node;
}
// 二叉樹遞歸體，遞歸的建立一顆二叉樹
TreeNode* _CreateTree(TreeType arr[], size_t size, int* index, TreeType nulltype)
{
 if (index == NULL || size < 1)
 {
     return NULL;
}
if (arr[*index] == nulltype)
{
    return NULL;
}
// 先創建根結點
TreeNode* root = Create Tree Node(TreeType value);
++(*index);
// 遞歸的創建左子樹
TreeNode* root->lchild = _CreateTree(arr, size, index, nulltype);
++(*index);
// 遞歸的創建右子樹
TreeNode* root->rchild = _CreatTree(arr,size, index, nulltype);
return root;
}
// 函數主體
TreeNode* CreateTree(TreeType arr[], size_t size, TreeType nulltype)
{
if (size < 1)
{
    return NULL;
}
// 用來記錄創建到數組中的哪個元素上
int index = 0;
return _CreateTree(arr, size, &index, nulltype);
}

二叉樹的遍歷

創建好二叉樹後，我們訪問二叉樹中的某個結點，就必須經過遍歷。
我們實現一下，二叉樹的遞歸版的前、中、後序遍歷和非遞歸版的前、中、後遍歷。

遞歸版

先序遍歷（前序遍歷）

void PreOrder(TreeNode* root)
{
    if (root == NULL)
    {
        return;
    }
    // 先打印根結點
    printf("%c  ", root->data);
    // 遞歸的打印左右子樹
    PreOrder(root->lchild);
    PreOrder(root->rchild);
}

中序遍歷

void InOrder(TreeNode* root)
{
     if (root == NULL)
     {
        return;
     }
     // 先遞歸的找到最左邊的孩子
     InOrder(root->lchild);
     // 打印最左邊的孩子，遞歸棧出棧打印根結點
     printf("%c  ", root->data);
     // 遞歸進右子樹
     InOrder(root->rchild);
}

後續遍歷

void PostOrder(TreeNode* root)
{
    if (root == NULL)
    {
        return;
    }
    // 先遞歸，找最左的孩子，打印，然後遞歸棧出棧，再進行最左子樹的右子樹進行遞歸
    PreOrder(root->lchild);
    PreOrder(root->rchild);
    printf("%c  ", root->data);
}

非遞歸版

注意：這裏我們在寫非遞歸版，直接用順序棧的函數接口，不做棧的實現。
如果不知道棧的實現，戳這裏棧的實現

前序遍歷
前序遍歷非遞歸採用手動棧來進行操作，棧的特性是先入後出，取棧頂元素，所以我們抓住這兩個特性。前序遍歷，是根左右順序遍歷。
1）先讓根結點入棧，取棧頂元素打印，成功進（2），失敗退出循環。
2）進行出棧
3）再進行入右孩子，入左孩子。
就這樣循環，直到棧爲空，也就是取棧頂失敗。遍歷完成。
代碼如下：

void PreOrederByLoop(TreeNode* root)
{
     if (root == NULL)
     {
             return;
     }
     // 創建一個棧。
     SeqStack stack;
     // 初始化一個棧（用C語言實現的棧）
     InitStack(&stack);
     // 先入根結點
     PushStack(&stack,  root);
     TreeNode* top = NULL;
     while (FindTopStack(&stack, &top)
     {
             printf("%c ", top->data);
             PopStack(&stack);
             // 先入右孩子，後入左孩子
             if (top->rchild != NULL)
             {
                     PushStack(&stack, top->rchild);
             }
             if (top-lchild != NULL)
             {
                     PushStack(&stack, top->lchild);
             }
      }
}

中序遍歷
中序遍歷，是採用手動棧。將函數放入一個while（1）的循環中。
1）先循環的去從根結點到最左孩子的入棧。
2）進行取棧頂元素，並判斷是否取棧頂元素成功，
3）如果失敗break，退出while（1）訓話。如果成功，打印棧頂元素，並出棧
4）進行右孩子的判斷是否爲空，如果不爲空，進行讓循環指針指向取棧頂元素的右孩子。
代碼：

void InOrderByLoop(TreeNode* root)
{
        if (root == NULL)
        {
            // 非法輸入
            return;
        }
        SeqStack Stack;
        InitStack(&stack);
        TreeNode* cur = root;
        while (1)
        {
            // 從根結點到最左邊的孩子，並逐一入棧
            while (cur != NULL)
            {
                PushStack(&stack, cur);
                cur = cur->lchild;
            }
            // 取棧頂元素
            TreeNode* top = NULL;
            FindTopStack(&stack, &top);
            if (top == NULL)
            {
                // 取失敗，退出循環。因爲因爲已經遍歷完了。
                break;
            }
            // 打印並出棧。
            printf("%c ", top->data);
            PopStack(&stack);
            // 讓cur嘗試的去找最左孩子的右孩子。
            cur = top->rchild;
        }
}

後序遍歷
後序遍歷，藉助手動創建的棧，採用while（1）循環作爲大的循環條件。
1）循環的從根結點到最左孩子，並且逐一入棧。
2）取棧頂元素。如果取失敗就break；
3）判斷是否存在最左孩子是否存在右孩子。還要判斷右孩子是否等於上一個取棧頂的元素，這樣做是防止重複遍歷。
4）如果不存在右孩子或者右孩子不等於上次取棧頂元素，那麼可以打印並且出棧。
5）否則就讓cur 指向棧頂元素的右孩子
代碼：

void PostOrder(TreeNode* root)
{
    if (root == NULL)
    {
        // 非法輸入
        return;
    }
    SeqStack satck;
    InitStack(&stack);
    // 用來記錄上一個top的元素
    TreeNode* pre = NULL;
    TreeNode* cur = root;
    while (1)
    {
        // 循環從根到最左孩子的入棧
        while (cur != NULL)
        {
            PushStack(&stack, cur);
            cur = cur->lchild;
        }
        // 取棧頂元素
        TreeNode* top = NULL;
        FindTopStack(&stack, &top);
        if (top == NULL)
        {
            // 取失敗退出，說明遍歷結束
            break;
        }
        // 滿足個兩個條件中的一個就可以打印並且出棧。
        if (top->rchild == NULL || top->rchild == pre)
        {
            printf("%c ", top->data);
            PopStack(&stack);
            pre = top;
        }
        else
        {
            // 存在右孩子，繼續入右孩子。
            cur = top->rchild;
        }
    }
}

層序遍歷
對於層序遍歷，也是一個很重要的點，需要掌握。層序遍歷就是，從上到下，從左到右依次的進行遍歷。那麼前面我們說的，前中後序遍歷，都是藉助棧的先進後出，可以訪問棧頂元素的特點來進行的遍歷。然而對於層序遍歷用隊列的先進先出，訪問隊首的方式遍歷。對隊列不熟悉的可以戳這裏鏈式隊列的實現，循環順序隊列的實現
1）先讓根結點入隊。
2）以取隊守元素爲條件進行循環
3）打印並出隊
4）判斷是否左孩子爲空，不爲空就讓左孩子入隊，
5）再判斷右孩子是否爲空，不爲空就讓右孩子入隊
代碼：

void LevelOrder(TreeNode* root)
{
    if (root == NULL)
    {
        // 非法判斷
        return;
    }
    SeqQueue queue;
    InitQueue(&queue);
    PushQueue(&queue, root);
    // 取棧頂元素，並且取隊守元素是否爲空。
    TreeNode* head = NULL;
    while (FindHead(&stack, &head))
    {
        // 打印並且出隊
        printf("%c ", head->data);
        PopQueue(&queue);
        if (head->lchild != NULL)
        {
            PushQueue(&queue, head->lchild);
        }
        if (head->rchild != NULL)
        {
            PushQueue(&queue, head->rchild);
        }
    }
}

判斷是否是完全二叉樹
判斷是否是完全二叉樹，更多的是在層序遍歷的基礎上變化而來，那麼我們也需要藉助隊這個數據結構來進行。判斷完全二叉樹的依據就是在滿二叉樹的下一層，從左到右，要麼只有左孩子，要麼左右都有，不能只有右沒有左。
1）我們需要創建隊列，進行初始化，將root結點入隊
2）取隊首元素，判斷是否爲NULL，如果爲NULL，直接break。
3）出隊。入左孩子和右孩子。
4）循環判斷隊列是否大於0
如果是，就讓原來的隊列出隊，並且取隊首元素，判斷是否爲空，是就返回0。不是就繼續
如果不是就返回1表示是完全二叉樹
代碼實現：

int IsCompleteTree(TreeNode* root)
{
    if (root == NULL)
    {
         // 非法判斷
         return 0;
    }
    SeqQueue queue;
    InitQueue(&queue);
    // 用來取隊首元素
    TreeNode* head = NULL;
    PushQueue(&queue, root);
    while (SizeQueue(&queue) > 0)
    {
        FindHeadQueue(&queue, head);
        if (head == NULL)
        {
            break;
        }
        PopQueue(&queue);
        PushQueue(&queue, head->lchild);
        PushQueue(&queue, head->rchild);
    }
    while (SizeQueue(&queue) > 0)
    {
        // 當上面循環跳出，進入本循環，隊首元素爲NULL先出隊後取
        PopQueue(&queue);
        FindHeadQueue(&queue, &head);
        if (head != NULL)
        {
            reuturn 0;
        }
    }
    return 1;
}

以上爲二叉樹基礎知識整理。

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