Codechef March Challenge 2018 DIV 1 題解

Mix the Colors

顯然每次選最大的數加到一個數上是最優的，那麼答案就是 n−顏色種數$n-顏色種數$ 。
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Chef and Easy Problem

預處理出每個二進制位的前綴和，詢問時枚舉每一位貪心選就好了。
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Minions and Voting

枚舉每個點，二分出他會投給誰，正反各做一遍就好了。
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Chef and Gcd Queries

ans=∑i=LR∑t|ai,t|Gμ(t)=∑t|Gμ(t)∑i=LR[t|ai]$$ans=\sum _{i=L}^R\sum _{t|a_i,t|G}\mu (t)=\sum _{t|G}\mu (t)\sum _{i=L}^R[t|a_i]$$

對於每個值開個動態線段樹，複雜度 O(nmax−−−−√logn)$\mathcal{O}(n\sqrt{max}\log n)$ 。
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Pishty and Triangles

一種比較顯然的做法是從大到小枚舉最大的 3$3$ 個數作爲 3$3$ 條邊，判斷是否合法，如果合法就輸出，否則去掉最大的數繼續找。發現最多隻會判斷 O(log32max)$\mathcal{O}({\log }_{\frac{3}{2}}max)$ 次，用線段樹維護前 50$50$ 大就好了。
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Chef and Interval Painting

打表，然後放到oeis上找一下可以得到：

ans=∑i=0k−1(k−1i)sn+1,n−i$$ans=\sum _{i=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i})s_{n+1,n-i}$$

其中 sn+1,n−i$s_{n+1,n-i}$ 表示第一類斯特林數。
可以用分治FFT預處理出第一類斯特林數。
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Chef Cuts Tree

一個連通塊 S$S$ 的權值可以表示爲 ∑i,j[i∈S,j∈S]$\sum _{i,j}[i\in S,j\in S]$ ，即連通的點對數。
顯然一對點連通的概率只取決於它們的距離。
設 toti$to{t}_i$ 表示樹中長度爲 i$i$ 的路徑條數。假設我們已經求出了 tot$tot$ 數組，那麼刪去 k$k$ 條邊的答案就是

ansk=∑n−1−ki=0toti(n−1−ik)(n−1k)$$an{s}_k=\frac{\sum _{i=0}^{n-1-k}to{t}_i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-i}{k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})}$$

(n−1k)k!ansk=∑i=0n−1−ktoti(n−1−i)!(n−1−i−k)!$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})k!an{s}_k=\sum _{i=0}^{n-1-k}\frac{to{t}_i(n-1-i)!}{(n-1-i-k)!}$$

設 ck=∑ki=0toti(n−1−i)!(k−i)!$c_k=\sum _{i=0}^k\frac{to{t}_i(n-1-i)!}{(k-i)!}$ ，那麼 (n−1k)k!ansk=cn−1−k$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})k!an{s}_k=c_{n-1-k}$
設 ai=toti(n−1−i)!,bi=1i!$a_i=to{t}_i(n-1-i)!,b_i=\frac{1}{i!}$ ，於是 ck=∑ki=0aibk−i$c_k=\sum _{i=0}^k{a}_i{b}_{k-i}$ ，是個卷積的形式，可以FFT求出。
現在的問題就是如何求出 tot$tot$ 數組。
考慮點分治，發現合併的時候是一個卷積的形式，用FFT優化就好啦。
由於模數不是NTT模數，要用三模數NTT。
還要卡卡常。。。
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