斐波那契查找

斐波那契查找

黃金比例又稱黃金分割，是指事物各部分間一定的數學比例關係，即將整體一分爲二，較大部分與較小部分之比等於整體與較大部分之比，其比值約爲1:0.618或1.618:1。

0.618被公認爲最具有審美意義的比例數字，這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有着不可忽視的作用。因此被稱爲黃金分割。

大家記不記得斐波那契數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…….（從第三個數開始，後邊每一個數都是前兩個數的和）。然後我們會發現，隨着斐波那契數列的遞增，前後兩個數的比值會越來越接近0.618，利用這個特性，我們就可以將黃金比例運用到查找技術中。

斐波那契查找的前提是待查找的查找表必須順序存儲並且有序。

    相對於折半查找，一般將待比較的key值與第mid=（low+high）/2位置的元素比較，比較結果分三種情況

     1）相等,mid位置的元素即爲所求

     2）>     ,low=mid+1;

     3)  <     ,high=mid-1;

   斐波那契查找與折半查找很相似，他是根據斐波那契序列的特點對有序表進行分割的。他要求開始表中記錄的個數爲某個斐波那契數小1，及n=Fk-1;

 開始將k值與第F(k-1）位置的記錄進行比較(及mid=low+F(k-1)-1),比較結果也分爲三種

 1）相等，mid位置的元素即爲所求

 2）>   ,low=mid+1,k-=2;

說明:low=mid+1說明待查找的元素在[mid+1,hign]範圍內，k-=2 說明範圍[mid+1,high]內的元素個數爲n-（F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1個，所以可以遞歸的應用斐波那契查找

 3)<    ,high=mid-1,k-=1;

說明:low=mid+1說明待查找的元素在[low,mid-1]範圍內，k-=1 說明範圍[low,mid-1]內的元素個數爲F(k-1)-1

 

個，所以可以遞歸 的應用斐波那契查找

// 斐波那契查找.cpp 

#include "stdafx.h"
#include <memory>
#include  <iostream>
using namespace std;

const int max_size=20;//斐波那契數組的長度

/*構造一個斐波那契數組*/ 
void Fibonacci(int * F)
{
	F[0]=0;
	F[1]=1;
	for(int i=2;i<max_size;++i)
		F[i]=F[i-1]+F[i-2];
}

/*定義斐波那契查找法*/  
int Fibonacci_Search(int *a, int n, int key)  //a爲要查找的數組,n爲要查找的數組長度,key爲要查找的關鍵字
{
  int low=0;
  int high=n-1;
  
  int F[max_size];
  Fibonacci(F);//構造一個斐波那契數組F 

  int k=0;
  while(n>F[k]-1)//計算n位於斐波那契數列的位置
	  ++k;

  int  * temp;//將數組a擴展到F[k]-1的長度
  temp=new int [F[k]-1];
  memcpy(temp,a,n*sizeof(int));

  for(int i=n;i<F[k]-1;++i)
     temp[i]=a[n-1];
  
  while(low<=high)
  {
    int mid=low+F[k-1]-1;
	if(key<temp[mid])
	{
      high=mid-1;
	  k-=1;
	}
	else if(key>temp[mid])
	{
     low=mid+1;
	 k-=2;
	}
	else
	{
       if(mid<n)
		   return mid; //若相等則說明mid即爲查找到的位置
	   else
		   return n-1; //若mid>=n則說明是擴展的數值,返回n-1
	}
  }  
  delete [] temp;
  return -1;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int a[] = {0,16,24,35,47,59,62,73,88,99};
	int key=100;
	int index=Fibonacci_Search(a,sizeof(a)/sizeof(int),key);
	cout<<key<<" is located at:"<<index;
	system("PAUSE");
	return 0;
}

解析：

首先要明確：如果一個有序表的元素個數爲n,並且n正好是（某個斐波那契數 - 1），即n=F[k]-1時，才能用斐波那契查找法。 如果有序表的元素個n不等於（某個斐波那契數 - 1），即n≠F[k]-1，這時必須要將有序表的元素擴展到大於n的那個斐波那契數 - 1才行，這段代碼：for (int i = n; i < F[k] - 1; i++) { a[i] = a[high]; }便是這個作用。

下面回答第一個問題：看完上面所述應該知道①是爲什麼了吧。 查找n在斐波那契數列中的位置，爲什麼是F[k] - 1,而不是F[k]，是因爲能否用斐波那契查找法是由F[k]-1決定的，而不是F[k]。如果暫時不理解，繼續看下面。

第 二個問題：a的長度其實很好估算，比如你定義了有10個元素的有序數組a[20]，n=10，那麼n就位於8和13，即F[6]和F[7]之間，所以 k=7，此時數組a的元素個數要被擴充，爲：F[7] - 1 = 12個； 再如你定義了一個b[20]，且b有12個元素，即n=12,那麼很好辦了，n = F[7]-1 = 12, 用不着擴充了； 又或者n=8或9或11，則它一定會被擴充到12； 再如你舉的例子，n=13，最後得出n位於13和21，即F[7]和F[8]之間，此時k=8，那麼F[8]-1 = 20,數組a就要有20個元素了。 所以，n = x（13<=x<=20）時，最後都要被擴充到20；類推，如果n=25呢，則數組a的元素個數肯定要被擴充到 34 - 1 = 33個（25位於21和34，即F[8]和F[9]之間，此時k=9，F[9]-1 = 33），所以，n = x（21<=x<=33）時，最後都要被擴充到33。也就是說，最後數組的元素個數一定是（某個斐波那契數 - 1），這就是一開始說的n與F[k]-1的關係。

第三個問題:對於二分查找，分割是從mid= (low+high)/2開始；而對於斐波那契查找，分割是從mid = low + F[k-1] - 1開始的； 通過上面知道了，數組a現在的元素個數爲F[k]-1個，即數組長爲F[k]-1，mid把數組分成了左右兩部分， 左邊的長度爲：F[k-1] - 1， 那麼右邊的長度就爲（數組長-左邊的長度-1）， 即：（F[k]-1） - （F[k-1] - 1） = F[k] - F[k-1] - 1 = F[k-2] - 1。

 斐波那契查找的核心是：

 1）當key=a[mid]時，查找成功；

 2）當keya[mid]時，新的查找範圍是第mid+1個到第high個，此時範圍個數爲F[k-2] - 1個，即數組右邊的長度，所以要在[F[k - 2] - 1，high]範圍內查找。