單調隊列
定義
有一個隊列(雙端隊列)， 隊列中的元素滿足下面四種狀態的任何一種都爲單調隊列:
- 單調遞增 (如 1 2 3 5 9)
- 單調不減 (如 1 2 3 3 5)
- 單調遞減 (如 9 5 3 2 1)
- 單調不增 (如 5 3 3 2 1)
性質
(以單增隊列爲例)
插入時，需要將尾部大於此數的全部出隊。
刪除時，根據需要使隊首或者隊尾的元素出隊(所以要用雙端隊列)。
每時每刻隊首元素都代表着當前區間範圍內的最小值。
單調隊列維護元素值的同時也要維護元素的下標，以便知道每個元素和整個區間的關係。
實現
int q[maxn], p[maxn], ft, rr;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
while(rr > ft && q[rr-1] >= a[i]) --rr;
q[rr++] = a[i], p[rr-1] = i;
//if(p[ft]<k) ++ft;
}應用
個人對單調隊列有以下幾點感覺：
單調隊列多用於區間問題，而且大多數是區間長度或者其他的有限制的問題。
單調隊列的研究對象一般是某個元素，而非某個區間(個人感覺)， 個人感覺要維護的基本上是某個元素的一些相關屬性。
有幾個題目作爲例子:
POJ - 2823 Sliding Window: 滑動窗口 單調隊列
HDU - 3415 Max Sum of Max-K-sub-sequence : 單調隊列
HDU - 3530 Subsequence : 單調隊列
另外單調隊列還有一個大用處就是優化一種形式的dp, 由於我還沒有研究到dp，這裏就先放一放，列一下知識點和一個題目感受一下。
(以下言論來自百度百科， 不可全信)
做動態規劃時常常會見到形如這樣的轉移方程：
f[x] = max or min { g(k) | b[x] <= k < x } + w[x]
其中b[x]隨x單調不降，即b[1]<=b[2]<=b[3]<=…<=b[n]
(g[k]表示一個和k或f[k]有關的函數，w[x]表示一個和x有關的函數)
這個方程怎樣求解呢？我們注意到這樣一個性質：如果存在兩個數j, k，使得j <= k，而且g(k) <= g(j)，則決策j是毫無用處的。因爲根據b[x]單調的特性，如果j可以作爲合法決策，那麼k一定可以作爲合法決策，並且k是一個比j要優的決策。因爲k比j要優，（注意：在這個經典模型中，“優”是絕對的，是與當前正在計算的狀態無關的），所以，如果把待決策表中的決策按照k排序的話，則g(k)必然是不降的。在此例中決策表即f[x].
這樣，就引導我們使用一個單調隊列來維護決策表。對於每一個狀態f(x)來說，計算過程分爲以下幾步：
1、 隊首元素出隊，直到隊首元素在給定的範圍中。
2、 此時，隊首元素就是狀態f(x)的最優決策，
3、 計算g(x)，並將其插入到單調隊列的尾部，同時維持隊列的單調性（不斷地出隊，直到隊列單調爲止）。
重複上述步驟直到所有的函數值均被計算出來。不難看出這樣的算法均攤時間複雜度是O(1)的。因此求解f(x)的時間複雜度從O(n^2)降到了O(n)。
單調隊列指一個隊列中的所有的數符合單調性（單調增或單調減），在信息學競賽的一些題目上應用，會減少時間複雜度.
可以參考下面這道題理解
單調棧
定義
個人感覺這個棧和隊列是差不多的，其實單調棧只要在單調隊列的基礎上，關掉隊列的一個端點不就行了， 只能在一端操作就是棧了，所以在實際的編碼中單調棧和單調隊列是差不多的(還是個人感覺)。
性質
同單調隊列
實現
同單調隊列
應用
目前我做到的四道題都只是用來求一個問題的:
就是在一個數組中， 求一個元素和它向左向右不比它小的元素所能組成的最大的區間，就是它最遠能擴展到的地方，這應該是單調棧最簡單的應用了(還沒做到難的)。
另外還有三道題和這題差不多，我這裏給出題目鏈接， 讀者可作爲練習實驗下。
POJ - 3250 Bad Hair Day
POJ - 2796 Feel Good (這題是此書上的習題)
HDU - 1505 City Game
