週期信號的傅里葉分析與非週期信號的傅里葉變換（MATLAB實現）

1.連續時間週期信號的傅里葉級數分析

任何一個週期爲T的正弦週期信號，只要滿足狄利克里條件，就可以展開成傅里葉級數，（至於爲什麼能展開傅里葉級數和什麼是狄利克利條件，這裏先不說，我們知道有這樣的結論就好）。三角形式的傅里葉級數爲：

或寫成合並的形式：

，

其中（這裏用括號代表下標）w(0)=2*pi/T,   a(0),a(k),b(k)分別代表直流分量，餘弦分量幅度，正弦分量幅度，C(k), 爲合併後的各正弦諧波分量的幅度和初相位，這兩個都是kw（0）的函數，畫出它們與kw(0)之間的關係的圖像稱爲信號的頻譜圖，C(k)—kw(0)圖像爲幅度譜，—kw(0)爲相位譜。

傅里葉級數就是說一個週期信號能夠由無限個不同頻率的正弦信號組成，這些正弦信號稱爲諧波分量，而頻率隨着k的增大而增大，k=1爲一次諧波，k=2爲二次諧波，可知諧波的次數越大，頻率就越大（越往後的諧波分量在這個信號中佔的份量就越小，即影響不大所以k可以取到有限）。也可以反過來理解：用無限個正弦諧波分量可以合併成一個任意的非正弦週期信號。（這就可以理解爲什麼會有用頻帶濾波器來消除噪音，所謂的噪音可看成是一個頻率較小的諧波分量，加到信號上面就使信號變了樣，所以這時候要去掉和噪音頻率相近（因爲不知道噪音頻率是多少）的諧波分量就是頻帶濾波，同樣的低通高通也一樣，通過對相應的頻率進行處理，只不過這時候就要換到頻域上面才能進行濾波，上面說到的兩個頻譜圖就是換到頻域上的例子）。

由歐拉公式，可以把三角形式的傅里葉級數換成指數形式的傅里葉級數爲：

這樣週期信號也可以由無限個不同頻率的互爲諧波關係的週期復指數信號組成。

其中a(k)爲指數形式的傅里葉級數的係數。

其實係數a(k)與三角形式中的a(k),b(k)有關係，a(k)=1/2*(a(k)-jb(k)),所以a(k)爲一個複數，絕對值爲該諧波分量的幅度，相位角可由實數a和虛數b得到。（爲什麼會有正負呢？這完全是數學運算的結果，只有把負頻率項與相應的正頻率項成對地合併起來，纔是實際的頻譜函數。）

2.用MATLAB畫出一個週期信號的頻譜圖

 T=2;dt=0.0001;t=-2:dt:2;
>> x1=sin(t);
>> w0=2*pi/T;
>> N=10;
>> L=2*N+1;
>> for k=-N:N;       %表示諧波分量
ak(N+1+k)=(1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;
end
>> phi=angle(ak);
>> subplot(211);
>> f=(-N:N)*w0
>> plot(f,abs(ak))
>> subplot(212);
>> plot(f,phi)

3.非週期信號的傅里葉變換分析

這裏就不說明非週期信號的傅里葉變換怎麼得來，怎麼由離散頻率變爲連續頻率了。直接來兩條公式再對公式進行說明。

傅里葉變換和其逆變換：

，，

任意非週期信號，如果滿足狄利克里條件，那麼，這個信號可以看成是由無窮多個不同頻率（這些頻率非常的接近，可看作連續）的週期復指數信號的線性組合構成的。每個頻率對應的週期復指數信號稱爲頻率分量，其相對幅度爲對應頻率的|X(jw)|的值，其相位爲對應頻率的相位X(jw)的相位。

MATLAB實現，由於計算機只能處理有限大小的數，所以只能取一定的值。

>> T=0.01;dw=0.1;
>> t=-10:T:10;
w=-10:dw:10;
for jw=w
X(w+11)=x1*exp(-j*t'*w)*T   %計算傅里葉變換
Xf=abs(X);    %計算幅度譜
phai = angle(X)   %計算相位譜

寫完這篇博客後，我發現了一篇知乎上的好文章http://zhuanlan.zhihu.com/wille/19759362