矩陣快速冪算法+例題（HDU 5667 Sequence）

矩陣快速冪是ACM比賽中對於求遞推式能用到的模板，能實現O（N^3*logM）的複雜度，其中 N是矩陣階乘，M是要求的第幾項。

對於矩陣快速冪，首先的得知道單位矩陣

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪11⋮110⋮0⋯⋯⋱⋯10⋮1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

明顯，單位矩陣與任何矩陣相乘，都會得到那個矩陣，這個就是對矩陣快速冪的時候的基礎矩陣。
然後，我們首先來看看斐波拉契數列
斐波拉契數列的遞推式是Fn = Fn-1 + Fn-2
所以我們可以試着寫出對應的矩陣算式有：

{An+1An}={1110}∗{AnAn−1}

這樣，我們就有：

{AnAn−1}={1110}n∗{11}

所以，如果要求出遞推式的那一項，就可以首先根據遞推式寫出遞推矩陣，然後對矩陣進行快速冪，這樣我們就能快速得到我們要求的那一項了，不過，有些題目要求取餘一個mod，這個可以在矩陣懲罰乘法中實現。

最後，我在給出有點廣泛應用的矩陣構造式：

f(x)=∑i=0m−1Bi∗An+i

有⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪An+mAn+m−1⋮An⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Bm−11⋮0⋯0⋱⋯B1⋯⋮1B00⋮0⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∗⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪An+m−1An+m−2⋮An⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

現在，我們來看看這道例題

HDU 5667 Sequence

題目鏈接
這道題我們簡單分析下就有：

⎧⎩⎨⎪⎪An+1An1⎫⎭⎬⎪⎪=⎧⎩⎨⎪⎪c10100b01⎫⎭⎬⎪⎪∗⎧⎩⎨⎪⎪AnAn−11⎫⎭⎬⎪⎪(n>=2)

這個求出來只是指數上的，所以mod p的時候得 mod p-1（因爲p是質數），然後對a快速冪，這時候就mod p就能得到答案了。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define LL long long
LL p,aa,bb,cc,n,mod; //mod爲p-1
struct matrix
{
    LL mat[3][3];
};
matrix pow1(matrix a,matrix b) // N^3的矩陣相乘
{
    matrix c;
    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
    for(int i=0;i<3;i++){
        for(int j=0;j<3;j++){
            for(int k=0;k<3;k++){
                c.mat[i][j] += (a.mat[i][k]*b.mat[k][j]);
                c.mat[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
matrix cheng(matrix a,LL y) //矩陣快速冪
{
    matrix b;
    memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));
    for(int i=0;i<3;i++) b.mat[i][i] = 1;
    while(y){
        if(y&1){
            b = pow1(a,b);
            y-=1;
        }else {
            a = pow1(a,a);
            y/=2;
        }
    }
    return b;
}
LL quick_pow(LL a,LL tmp) //對a進行快速冪
{
    LL b = 1ll;
    while(tmp)
    {
        if(tmp&1) b=(a*b)%p;
        a=(a*a)%p;
        tmp>>=1;
    }
    return b;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&aa,&bb,&cc,&p);
        matrix ma;
        mod = p-1;
        memset(ma.mat,0,sizeof(ma.mat));//初始化遞歸矩陣
        ma.mat[0][0] = cc; ma.mat[0][1] = 1; ma.mat[0][2] = bb;
        ma.mat[1][0] = 1; ma.mat[2][2] = 1;


        ma = cheng(ma,n-2); //算指數和直接冪有點不同
        LL tmp = ma.mat[0][0]*bb + ma.mat[0][2]; //取出指數
        LL ans = quick_pow(aa,tmp);
        printf("%lld\n",ans);

    }
    return 0;
}

代碼是自己第一次寫的，所以有點醜，如果有錯誤或者有冒犯，請聯繫作者。

參考文獻：
挑戰程序設計競賽 人民郵電出版社