原理出自 http://www.cnblogs.com/zhangshu/archive/2011/08/16/2141396.html
昨天學了一下樹狀數組，隨筆都寫了一大半，結果一個不小心就把他給刪了，哎。。。。。。今天就當是複習吧！再寫一次。
如果給定一個數組，要你求裏面所有數的和，一般都會想到累加。但是當那個數組很大的時候，累加就顯得太耗時了，時間複雜度爲O(n)，並且採用累加的方法還有一個侷限，那就是，當修改掉數組中的元素後，仍然要你求數組中某段元素的和，就顯得麻煩了。所以我們就要用到樹狀數組，他的時間複雜度爲O（lgn），相比之下就快得多。下面就講一下什麼是樹狀數組：
一般講到樹狀數組都會少不了下面這個圖：
下面來分析一下上面那個圖看能得出什麼規律：
據圖可知：c1=a1，c2=a1+a2，c3=a3，c4=a1+a2+a3+a4，c5=a5，c6=a5+a6，c7=a7，c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，c9=a9，c10=a9+a10，c11=a11........c16=a1+a2+a3+a4+a5+.......+a16。
分析上面的幾組式子可知，當 i 爲奇數時，ci=ai ；當 i 爲偶數時，就要看 i 的因子中最多有二的多少次冪，例如，6 的因子中有 2 的一次冪，等於 2 ，所以 c6=a5+a6（由六向前數兩個數的和），4 的因子中有 2 的兩次冪，等於 4 ，所以 c4=a1+a2+a3+a4（由四向前數四個數的和）。
（一）有公式：cn=a(n-a^k+1)+.........+an（其中 k 爲 n 的二進制表示中從右往左數的 0 的個數）。
那麼，如何求 a^k 呢？求法如下：
int lowbit(int x){ return x&(-x);
} |
lowbit（）的返回值就是 2^k 次方的值。
求出來 2^k 之後，數組 c 的值就都出來了，接下來我們要求數組中所有元素的和。
（二）求數組的和的算法如下：
（1）首先，令sum=0，轉向第二步；
（2）接下來判斷，如果 n>0 的話，就令sum=sum+cn轉向第三步，否則的話，終止算法，返回 sum 的值；
（3）n=n - lowbit（n）（將n的二進制表示的最後一個零刪掉），回第二步。
代碼實現：
int Sum(int n){ int sum=0; while(n>0) { sum+=c[n]; n=n-lowbit(n); }
return sum;} |
（三）當數組中的元素有變更時，樹狀數組就發揮它的優勢了，算法如下（修改爲給某個節點 i 加上 x ）：
（1）當 i<=n 時，執行下一步；否則的話，算法結束;
（2）ci=ci+x ，i=i+lowbit（i）（在 i 的二進制表示的最後加零），返回第一步。
代碼實現：
void change(int i,int x)
{ while(i<=n) { c[i]=c[i]+x; i=i+lowbit(i); }} |
