重新理解“充要条件”

什么是充要条件？

       从字面上看，充要条件即充分必要条件。那“充分”和“必要”又包含什么样的含义呢？

1. 先来说明一下什么是“充分”。举个例子，我们说“男人会长胡子”。这里就可以说“男人”是“会长胡子”的充分条件。
2. 再来看一下什么是“必要”。继续看“男人会长胡子”这句话。我们说“会长胡子”是“男人”的必要条件。很显然，如果一个人不长胡子，那他就一定不是男人，所以说“会长胡子”是必要的。
3. 那什么是“充分且必要”呢？还是刚才的例子，“会长胡子”的一定是“男人“吗？这不一定，猫也长胡子，所以是”会长胡子“对于是”男人“而言，是不充分的。但是，如果我们说”会长胡子的人“是”男人“，这应该没有人会置疑。因为，”会长胡子“并且是个”人“，这是”男人“的充分必要条件。
   

       我们将上面的内容作一些抽象：

1. 如果说，由A这个条件可以推出B这个结论，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；
2. 如果说，由B这个条件可以推出A这个结论，则B是A的充分条件，A是B的必要条件；
3. 如果说，既可以由A推出B，又可以由B推出A，那么A和B互为充要条件。

      以上便是对“充要条件“的定义。

      回头再看上面的例子，这里我们把“男人”看作A，“会长胡子”看作B。“男人会长胡子”，即由A可以推出B，那么，“男人”是“会长胡子”的充分条件，“会长胡子”是“男人”的必要条件。到此，我们就说明了上例中的1、2两点，接着再回头看第3点，因为猫也长胡子，所以”会长胡子“对于是”男人“而言是不充分的，则“会长胡子(B)”是“男人(A)”的必要条件，但不是充分条件。再看，对于“男人是会长胡子的人”，这里仍把“男人”看作A，B则稍作变化，“会长胡子的人”看作B。那么，A可以推出B，B也可以推出A，则“男人”和“会长胡子的人”互为充要条件。

如何证明充要条件？

       先证明充分性，再证明必要性。主要方法有定义法、等价法、集合法以及逻辑判断法。

       深入了解“充要条件”，可以看了下王贵友的《充要条件的判断与证明》。