hdu4694
題意：給定源點，求出源點到其他各點的關鍵點
Lengauer-Tarjan algorithm按理說這也是個經典算法,跟lca的tarjan和強連通的tarjan都有極其相似之處，但是貌似並沒有推廣
感覺出題比較好出，先求個dominator tree，然後再在上面各種搞，雖然多半會出成一個拼接題...
首先有幾個鏈接
一些概念
http://en.wikipedia.org/wiki/Dominator_(graph_theory)#Algorithms
http://help.eclipse.org/juno/index.jsp?topic=%2Forg.eclipse.mat.ui.help%2Fconcepts%2Fdominatortree.html
詳細圖解以及算法流程
http://www.cl.cam.ac.uk/~mr10/lengtarj.pdf
最後是中文詳解
http://www.chnxp.com.cn/soft/down-17744.html 有一節是專門解釋這個算法的
首先定義幾個概念
idom 最近必經點 代表的是距離節點i最近的一個必經點，明顯idom是唯一存在的dominator tree 這棵樹上的每一個節點都是其兒子的idom
明顯我們求出這棵樹之後，原題要求的就是每個節點到根的路徑上的各節點的編號和
然後輔助定義
semi 半必經點，表示的是在dfs樹上，節點i的祖先中，可以通過一系列的非樹邊走到i的，深度最小的祖先，i的直系父親也可以是半必經點
考慮節點i的前驅j
1、如果dfn[j]<dfn[i]，則j明顯是i的一個祖先，那麼j是semi[i]的一個候選之一
2、dfn[j]>dfn[i],那麼j的祖先u(包括j)，semi[u]都是semi[i]的候選
在這二者中取dfn最小的，就是semi[i]
根據semi,我們可以求出idom
必經點定理
在semi[i]~i的一條鏈上（包括i，不包括semi[i]），找到一個節點y,使得dfn[semi[y]]最小，那麼如果
1、semi[y]==semi[i],則idom[i]=semi[i];
2、semi[y]!=semi[i],則idom[i]=idom[y];
有了這兩個定理，我們不難得出一個o(n^2)的暴力算法，但是Lengauer-Tarjan卻給出了o(nlogn)的算法
我沒有仔細去看這個算法的僞代碼，大致看了一下這個算法的思想，感覺還是運用了並查集，並且有求lca的既視感，當然其運用到dfn的特徵，又無疑是來自求強連通分量的
按照dfn從大到小的順序處理每個節點，可以根據半必經點定理可以求出semi，這裏我有點疑惑的是，此時dfn小於i的節點的semi還沒求出來會不會產生影響，因爲我發現實現的時候貌似是忽略了dfn比當前節點小的節點；其中有一步是查詢其祖先的最小semi，這個可以用一個並查集實現，用best表示當前節點向上找到的dfn[semi[]]最小的節點，我們考慮每個子樹都是兒子比祖先先處理，那麼每次處理完一個節點的時候，把其子樹都並起來，查詢的時候通過路徑壓縮就可以快速查詢了；然後是利用必經點定理，我們把semi[j]==i的節點j都鏈在i上，都處理完i的時候,i~j之間的semi都處理完了（是不是像lca），此時就可以開始求dfn[semi[y]]最小的y了，這個也可以用剛纔的並查集實現，注意此時並不能直接求出idom,因爲y的idom可能還沒求出，要等到最後再按dfn從小到大掃一遍纔可以求出來
我的實現與鏈接給出的僞代碼應該有一些差別，但思想應該差不多
關於忽略dfn比當前小的節點，在主代碼手的提示下，感覺是因爲兩點的lca之上的節點的semi都是不需要考慮的
updata2014.4.7 原創題一道 http://acm.sjtu.edu.cn/OnlineJudge/problem/1251
updata2014.4.9 這個拓展問題也比較有趣 http://cstheory.stackexchange.com/questions/17509/multiple-sources-dominator-trees-compact-representation-and-fast-algorithm
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
const int oo=1073741819;
using namespace std;
int tail[4][200000];
int next[4][2000000],sora[4][2000000];
int ss[4],top,w_time,n,m;
int rel[200000],semi[200000],b[200000],idom[200000],best[200000],st[200000],pre[200000];
int ans[200000];
void origin()
{
for (int e=0;e<=3;e++) ss[e]=n;
for (int i=1;i<=n;i++) {
for (int e=0;e<=3;e++)
tail[e][i]=i,next[e][i]=0;
rel[i]=0;
semi[i]=idom[i]=pre[i]=0,best[i]=i;
b[i]=i;
ans[i]=0;
}
rel[0]=oo;
}
void link(int e,int x,int y)
{
++ss[e],next[e][tail[e][x]]=ss[e],tail[e][x]=ss[e],sora[e][ss[e]]=y,next[e][ss[e]]=0;
}
void dfs(int x,int y)
{
++w_time,rel[x]=w_time;
st[++top]=x,pre[x]=y;
for (int i=x,ne;next[0][i];) {
i=next[0][i],ne=sora[0][i];
if (!rel[ne]) dfs(ne,x);
}
}
int find(int x)
{
int y=b[x];
if (b[x]!=x) b[x]=find(b[x]);
if (rel[semi[best[y]]]<rel[semi[best[x]]])
best[x]=best[y];
return b[x];
}
void getans(int x,int sum)
{
ans[x]=sum+x;
for (int i=x,ne;next[3][i];) {
i=next[3][i],ne=sora[3][i];
getans(ne,sum+x);
}
}
int main()
{
freopen("input.txt","r",stdin);
freopen("output.txt","w",stdout);
for (;scanf("%d%d",&n,&m)==2;) {
origin();
for (int i=1;i<=m;i++) {
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
link(0,x,y);
link(1,y,x);
}
w_time=0;
top=0;
dfs(n,0);
for (int i=top;i>=1;i--) {
int ne=st[i];
for (int j=ne,na;next[1][j];) {
j=next[1][j],na=sora[1][j];
if (!rel[na]) continue;
if (rel[na]>rel[ne]) {
find(na);
int y=semi[best[na]];
if (rel[y]<rel[semi[ne]]) semi[ne]=y;
}
else {
int y=na;
if (rel[y]<rel[semi[ne]]) semi[ne]=y;
}
}
if (ne!=n) link(2,semi[ne],ne);
for (int j=ne,na;next[2][j];) {
j=next[2][j],na=sora[2][j];
find(na);
int y=best[na];
if (semi[y]==semi[na]) idom[na]=semi[na];
else idom[na]=y;
}
for (int j=ne,na;next[0][j];) {
j=next[0][j],na=sora[0][j];
if (pre[na]==ne) {
na=find(na);
b[na]=ne;
}
}
}
for (int i=2;i<=top;i++) {
int ne=st[i];
if (idom[ne]!=semi[ne]) idom[ne]=idom[idom[ne]];
link(3,idom[ne],ne);
}
getans(n,0);
for (int i=1;i<=n-1;i++) printf("%d ",ans[i]);
printf("%d\n",ans[n]);
//for (int i=1;i<=n;i++) cout<<semi[i]<<' ';cout<<endl;
}
return 0;
}spoj59
求有向圖的割點
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
const int oo=1073741819;
using namespace std;
int ss[3],tail[3][5050],next[3][210000],sora[3][210000];
int rel[5050],semi[5050],idom[5050],cnt[5050],pre[5050];
int w_time,b[5050],best[5050],st[5050];
int top,n,m;
void origin()
{
for (int e=0;e<=2;e++) ss[e]=n;
for (int i=1;i<=n;i++) {
for (int e=0;e<=2;e++) tail[e][i]=i,next[e][i]=0;
rel[i]=semi[i]=idom[i]=cnt[i]=0;
b[i]=best[i]=i;
}
}
void link(int e,int x,int y)
{
++ss[e],next[e][tail[e][x]]=ss[e],tail[e][x]=ss[e],sora[e][ss[e]]=y,next[e][ss[e]]=0;
}
void dfs(int x,int y)
{
++w_time,rel[x]=w_time;
st[++top]=x,pre[x]=y;
for (int i=x,ne;next[0][i];) {
i=next[0][i],ne=sora[0][i];
if (!rel[ne]) dfs(ne,x);
}
}
int find(int x)
{
int y=b[x];
if (b[x]!=x) b[x]=find(b[x]);
if (rel[semi[best[y]]]<rel[semi[best[x]]])
best[x]=best[y];
return b[x];
}
int main()
{
freopen("input.txt","r",stdin);
//freopen("output.txt","w",stdout);
for (;scanf("%d%d",&n,&m)==2;) {
origin();
for (int i=1;i<=m;i++) {
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
link(0,x,y);
link(1,y,x);
}
w_time=top=0;
dfs(1,0);
rel[0]=oo;
for (int i=top;i>=1;i--) {
int ne=st[i],na;
for (int i=ne;next[1][i];) {
i=next[1][i],na=sora[1][i];
if (!rel[na]) continue;
if (rel[na]>rel[ne]) find(na),na=semi[best[na]];
if (rel[na]<rel[semi[ne]]) semi[ne]=na;
}
if (ne!=1) link(2,semi[ne],ne);
for (int i=ne;next[2][i];) {
i=next[2][i],na=sora[2][i];
find(na);
if (semi[best[na]]==ne) idom[na]=ne;
else idom[na]=best[na];
}
for (int i=ne;next[0][i];) {
i=next[0][i],na=sora[0][i];
if (pre[na]==ne) b[find(na)]=ne;
}
}
for (int i=2;i<=top;i++) {
int ne=st[i];
if (idom[ne]!=semi[ne]) idom[ne]=idom[idom[ne]];
cnt[idom[ne]]++;
}
int ans=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
if (cnt[i]) ans++;
printf("%d\n",ans);
for (int i=1;i<=n;i++)
if (cnt[i]) {
ans--;
if (ans) printf("%d ",i);
else printf("%d\n",i);
}
}
return 0;
} 
