求線段交點

下面我就現學現賣的把最近才學會的一些"求線段交點"的算法說一說, 希望對大家有所幫助.
本文講的內容都很初級, 主要是面向和我一樣的初學者, 所以請各位算法帝們輕拍啊 嘎嘎

引用
已知線段1(a,b) 和線段2(c,d) ,其中a b c d爲端點, 求線段交點p .(平行或共線視作不相交)

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算法一: 求兩條線段所在直線的交點, 再判斷交點是否在兩條線段上.

求直線交點時 我們可通過直線的一般方程 ax+by+c=0 求得(方程中的abc爲係數,不是前面提到的端點,另外也可用點斜式方程和斜截式方程,此處暫且不論).
然後根據交點的與線段端點的位置關係來判斷交點是否在線段上. 公式如下圖:

實現代碼如下 :

function segmentsIntr(a, b, c, d){

/** 1 解線性方程組, 求線段交點. **/
// 如果分母爲0 則平行或共線, 不相交
var denominator = (b.y - a.y)(d.x - c.x) - (a.x - b.x)(c.y - d.y);
if (denominator==0) {
return false;
}

// 線段所在直線的交點座標 (x , y)
var x = ( (b.x - a.x) * (d.x - c.x) * (c.y - a.y)
+ (b.y - a.y) * (d.x - c.x) * a.x
- (d.y - c.y) * (b.x - a.x) * c.x ) / denominator ;
var y = -( (b.y - a.y) * (d.y - c.y) * (c.x - a.x)
+ (b.x - a.x) * (d.y - c.y) * a.y
- (d.x - c.x) * (b.y - a.y) * c.y ) / denominator;

/** 2 判斷交點是否在兩條線段上 **/
if (
// 交點在線段1上
(x - a.x) * (x - b.x) <= 0 && (y - a.y) * (y - b.y) <= 0
// 且交點也在線段2上
&& (x - c.x) * (x - d.x) <= 0 && (y - c.y) * (y - d.y) <= 0
){

    // 返回交點p  
    return {  
            x :  x,  
            y :  y  
        }  
}  
//否則不相交  
return false  

}

算法一思路比較清晰易懂, 但是性能並不高. 因爲它在不確定交點是否有效(在線段上)之前, 就先去計算了交點, 耗費了較多的時間.
如果最後發現交點無效, 那麼之前的計算就白折騰了. 而且整個計算的過程也很複雜.
那麼有沒有一種思路,可以讓我們先判斷是否存在有效交點,然後再去計算它呢?
顯然答案是肯定的. 於是就有了後面的一些算法.

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算法二: 判斷每一條線段的兩個端點是否都在另一條線段的兩側, 是則求出兩條線段所在直線的交點, 否則不相交.

第一步判斷兩個點是否在某條線段的兩側, 通常可採用投影法:

求出線段的法線向量, 然後把點投影到法線上, 最後根據投影的位置來判斷點和線段的關係. 見下圖

點a和點b在線段cd法線上的投影如圖所示, 這時候我們還要做一次線段cd在自己法線上的投影(選擇點c或點d中的一個即可).
主要用來做參考.
圖中點a投影和點b投影在點c投影的兩側, 說明線段ab的端點在線段cd的兩側.

同理, 再判斷一次cd是否在線段ab兩側即可.

求法線 , 求投影 什麼的聽起來很複雜的樣子, 實際上對於我來說也確實挺複雜,在幾個月前我也不會(唸書那會兒的幾何知識都忘光了 :’( )’
不過好在學習和實現起來還不算複雜, 皆有公式可循:

求線段ab的法線:

var nx=b.y - a.y,
ny=a.x - b.x;
var normalLine = { x: nx, y: ny };

注意: 其中 normalLine.x和normalLine.y的幾何意義表示法線的方向, 而不是座標.

求點c在法線上的投影位置:
var dist= normalLine.xc.x + normalLine.yc.y;

注意: 這裏的"投影位置"是一個標量, 表示的是到法線原點的距離, 而不是投影點的座標.
通常知道這個距離就足夠了.

當我們把圖中 點a投影(distA),點b投影(distB),點c投影(distC) 都求出來之後, 就可以很容易的根據各自的大小判斷出相對位置.

distAdistBdistC 時, 兩條線段共線
distA==distB!=distC 時, 兩條線段平行
distA 和 distB 在distC 同側時, 兩條線段不相交.
distA 和 distB 在distC 異側時, 兩條線段是否相交需要再判斷點c點d與線段ab的關係.

前面的那些步驟, 只是實現了"判斷線段是否相交", 當結果爲true時, 我們還需要進一步求交點.
求交點的過程後面再說, 先看一下該算法的完整實現 :

function segmentsIntr(a, b, c, d){

//線段ab的法線N1  
var nx1 = (b.y - a.y), ny1 = (a.x - b.x);  

//線段cd的法線N2  
var nx2 = (d.y - c.y), ny2 = (c.x - d.x);  
  
//兩條法線做叉乘, 如果結果爲0, 說明線段ab和線段cd平行或共線,不相交  
var denominator = nx1*ny2 - ny1*nx2;  
if (denominator==0) {  
    return false;  
}  
  
//在法線N2上的投影  
var distC_N2=nx2 * c.x + ny2 * c.y;  
var distA_N2=nx2 * a.x + ny2 * a.y-distC_N2;  
var distB_N2=nx2 * b.x + ny2 * b.y-distC_N2;  

// 點a投影和點b投影在點c投影同側 (對點在線段上的情況,本例當作不相交處理);  
if ( distA_N2*distB_N2>=0  ) {  
    return false;  
}  
  
//  
//判斷點c點d 和線段ab的關係, 原理同上  
//  
//在法線N1上的投影  
var distA_N1=nx1 * a.x + ny1 * a.y;  
var distC_N1=nx1 * c.x + ny1 * c.y-distA_N1;  
var distD_N1=nx1 * d.x + ny1 * d.y-distA_N1;  
if ( distC_N1*distD_N1>=0  ) {  
    return false;  
}  

//計算交點座標  
var fraction= distA_N2 / denominator;  
var dx= fraction * ny1,  
    dy= -fraction * nx1;  
return { x: a.x + dx , y: a.y + dy };  

}

最後 求交點座標的部分 所用的方法看起來有點奇怪, 有種摸不着頭腦的感覺.
其實它和算法一 裏面的算法是類似的,只是裏面的很多計算項已經被提前計算好了.
換句話說, 算法二里求交點座標的部分 其實也是用的直線的線性方程組來做的.

現在來簡單粗略 很不科學的對比一下算法一和算法二:
1 最好情況下, 兩種算法的複雜度相同
2 最壞情況, 算法一和算法二的計算量差不多
3 但是算法二提供了 更多的"提前結束條件",所以平均情況下,應該算法二更優.

實際測試下來, 實際情況也確實如此.

前面的兩種算法基本上是比較常見的可以應付絕大多數情況. 但是事實上還有一種更好的算法.
這也是我最近才新學會的(我現學現賣了,大家不要介意啊…)

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算法三: 判斷每一條線段的兩個端點是否都在另一條線段的兩側, 是則求出兩條線段所在直線的交點, 否則不相交.

(咦? 怎麼感覺和算法二一樣啊? 不要懷疑 確實一樣 … 囧)
所謂算法三, 其實只是對算法二的一個改良, 改良的地方主要就是 :
不通過法線投影來判斷點和線段的位置關係, 而是通過點和線段構成的三角形面積來判斷.

先來複習下三角形面積公式: 已知三角形三點a(x,y) b(x,y) c(x,y), 三角形面積爲:

var triArea=( (a.x - c.x) * (b.y - c.y) - (a.y - c.y) * (b.x - c.x) ) /2 ;

因爲 兩向量叉乘==兩向量構成的平行四邊形(以兩向量爲鄰邊)的面積 , 所以上面的公式也不難理解.
而且由於向量是有方向的, 所以面積也是有方向的, 通常我們以逆時針爲正, 順時針爲負數.

改良算法關鍵點就是:
如果"線段ab和點c構成的三角形面積"與"線段ab和點d構成的三角形面積" 構成的三角形面積的正負符號相異,
那麼點c和點d位於線段ab兩側. 如下圖所示:

圖中虛線所示的三角形, 纏繞方向(三邊的定義順序)不同, 所以面積的正負符號不同.

下面還是先看代碼:
由於我們只要判斷符號即可, 所以前面的三角形面積公式我們就不需要後面的 除以2 了.

function segmentsIntr(a, b, c, d){

// 三角形abc 面積的2倍  
var area_abc = (a.x - c.x) * (b.y - c.y) - (a.y - c.y) * (b.x - c.x);  

// 三角形abd 面積的2倍  
var area_abd = (a.x - d.x) * (b.y - d.y) - (a.y - d.y) * (b.x - d.x);   

// 面積符號相同則兩點在線段同側,不相交 (對點在線段上的情況,本例當作不相交處理);  
if ( area_abc*area_abd>=0 ) {  
    return false;  
}  

// 三角形cda 面積的2倍  
var area_cda = (c.x - a.x) * (d.y - a.y) - (c.y - a.y) * (d.x - a.x);  
// 三角形cdb 面積的2倍  
// 注意: 這裏有一個小優化.不需要再用公式計算面積,而是通過已知的三個面積加減得出.  
var area_cdb = area_cda + area_abc - area_abd ;  
if (  area_cda * area_cdb >= 0 ) {  
    return false;  
}  

//計算交點座標  
var t = area_cda / ( area_abd- area_abc );  
var dx= t*(b.x - a.x),  
    dy= t*(b.y - a.y);  
return { x: a.x + dx , y: a.y + dy };  

}

最後 計算交點座標的部分 和算法二同理.

算法三在算法二的基礎上, 大大簡化了計算步驟, 代碼也更精簡. 可以說,是三種算法裏, 最好的.實際測試結果也是如此.

當然必須坦誠的來說, 在Javascript裏, 對於普通的計算, 三種算法的時間複雜度其實是差不多的(尤其是V8引擎下).
我的測試用例裏也是進行變態的百萬次級別的線段相交測試 才能拉開三種算法之間的差距.

不過本着精益求精 以及學習的態度而言, 追求一個更好的算法, 總是有其積極意義的.

好了 不囉嗦了, 就到這裏吧.
現學現賣的東西, 難免有錯誤, 還請大家不吝斧正. 先謝謝啦
文章來源:http://fins.iteye.com/blog/1522259
分類: Knowledge Base