一、基本要求
1、拜占庭將軍問題
拜占庭帝國有許多支軍隊，不同的將軍之間必須制定一個統一的行動計劃，從而做出進攻或者撤退的決定。同時，各個將軍在地理上都是被分隔開來的，只能依靠軍隊的通訊員來進行通訊。然而，在所有的通訊員中可能存在叛徒，這些叛徒可以任意篡改消息，從而達到欺騙將軍的目的。
2、要求
假設有一組可以提出提案的進程集合，那麼對於一致性算法來說，需要保證以下幾點：
- 這些被提出的提案中，只有一個會被選定；
- 如果沒有提案被提出，那麼就不會有被選定的提案；
- 當一個提案被選定後，進程可以獲取被選定的提案的信息。
分佈式算法有兩個重要的屬性：安全性和活性。安全性是指需要保證永遠都不會發生的事情，活性是最終一定會發生的事情。這裏不精確的去定義活性的需求，只討論安全性的要求：
- 只有被提出的提案才能被選定；
- 只有一個值能被選定；
- 如果某個進程認爲某個提案被選定了，那麼這個提案必須真的是被選定的。
3、角色
在Paxos算法中，涉及到三種角色：Proposer、Acceptor和Learner。Proposer是提出提案的角色，Acceptor是判斷是否接受提案的角色。在算法實現的過程中，不同的進程可能充當不同的角色。假設不同的參與者之間可以通過收發消息來進行通信，那麼：
- 每個參與者以任意的速度執行，可能會因爲出錯而停止，也可能會重啓。同時，即使一個提案被選定後，所有的參與者也有可能會失敗或重啓，因此除非失敗或重啓的參與者可以記錄一些信息，否則將無法確定最終的值；
- 消息在傳播的過程中可能會出現不可預知的延遲，也可能會重複或丟失，但是消息不會被損毀，即消息內容不會被篡改（即拜占庭將軍問題）。
二、算法詳解
1、提案選定相關的兩個假設
首先，確定一個基本概念，一個提案指的是[Mn, Vn]，其中Mn是一個全局唯一的編號，而Vn是提案的值，即需要提交的內容本身。
P1：一個Acceptor只要未響應過任何編號大於Mn的Prepare請求，那麼它就可以接受這個編號爲Mn的提案；
P2：對於產生的每個提案，需要滿足：存在一個超過半數的Acceptor組成的集合S，要麼S中沒有Acceptor批准過編號小於Mn的任何提案，要麼S中所有的Acceptor批准的所有編號小於Mn的提案中，編號最大的那個提案的Value值爲Vn。
2、提案的生成
根據上面的假設P2進行提案的生成。Proposer在產生一個編號爲Mn的提案時，必須要知道某一個將要或者已經被半數以上的Acceptor批准的編號小於Mn的最大的編號的提案，並且Proposer會要求Acceptor不再批准任何編號小於Mn的提案。
2.1 提案生成算法
根據上面的要求，得到提案生成算法：
1、Proposer選擇一個新的提案編號Mn，然後向某個Acceptor集合的成員發送請求，要求該集合中的Acceptor做出如下回應：
- 向Proposer承諾，保證不再批准任何編號小於Mn的提案；
- 如果Acceptor已經批准過任何提案，就想Proposer反饋該提案的值。
這個請求被稱爲：編號爲Mn的提案的Prepare請求。
2、根據Proposer收到的響應結果不同，有如下不同的Vn的處理方式：
- 如果Proposer收到了來自半數以上的Acceptor的響應結果，那麼它就可以產生編號爲Mn、value爲Vn的提案，這裏的Vn是所有響應中編號最大的提案的Value值；
- 如果Proposer收到的響應結果是半數以上的Acceptor都沒有批准過任何提案，即響應中不包含任何的天，那麼此時Vn的值可以由Proposer任意選擇。
2.2 Accept請求
在確定提案之後，Proposer會將提案再次發送給某個Acceptor集合，並期望獲得它們的批准，這個請求被稱爲Accept請求。需要注意的是，此時接受Accept請求的Acceptor集合不一定是之前響應Prepare請求的Acceptor集合，但是任意兩個半數以上的Acceptor集合，必定包含至少一個公共Acceptor。
3、提案的批准
可以得到兩階段提交算法：
階段一：
- Proposer選擇一個提案編號Mn，然後向Acceptor的某個超過半數的子集成員發送編號爲Mn的Prepare請求；
- 如果一個Acceptor收到一個編號爲Mn的Prepare請求，且編號Mn大於該Acceptor已經響應的所有Prepare請求的編號，那麼它就會將已經批准過的最大編號的提案作爲響應反饋給Proposer，同時該Acceptor會承諾不會再批准任何編號小於Mn的提案。
階段2：
- 如果Proposer收到來自半數以上的Acceptor對於其發出的編號爲Mn的Prepare請求的響應，那麼它就會發送一個針對[Mn, Vn]提案的Accept請求給Acceptor。需要注意的是，Vn的值就是收到的響應中編號最大的提案的值，如果響應中不包含任何提案，那麼它就是任意值；
- 如果Acceptor收到這個針對[Mn, Vn]提案的Accept請求，只要該Acceptor尚未對編號大於Mn的Prepare請求作出響應，它就可以通過這個提案。
4、提案的獲取
上述三節已經討論瞭如何選定一個提案，這裏討論如何讓Learner獲取提案。
所有的Acceptor將它們對提案的審批情況，統一發送給一個特定的Learner集合，該集合中的每個Learner都可以在一個提案被選定後通知所有其他的Learner這個Learner集合中的Learner個數越多，可靠性就越好，但同時網絡通信的複雜度也就越高。
5、選取主Proposer
Proposer如果發現自己提議的編號過小導致被Acceptor拒絕，會獲取新的更大的編號並重發提議，這就可能導致出現兩個Proposer循環交替的不斷提出兩個提議的死循環。可以通過選定一個主Proposer，並規定只有主Proposer才能提出提議來避免這個問題。只要主Proposer和過半的Acceptor能進行正常的網絡通信，那麼但凡Proposer提出一個編號更高的提議都會被批准。
通過選定一個主Proposer，可以保證算法的活性。
