牛顿法是求解最优化，理论上最好最精确的方法，公式为：xk+1=xk−f′(xk)f″(xk) ，原理是求解导数为0的情况。如果xk 是一个高维数据，且函数f(x) 非常复杂，那么求解1/f″(x) 就是很麻烦的过程。拟牛顿法的思路是，在牛顿法的基础上，对1/f″(x) 做个近似估计就行了，不需要精确计算。这样虽然结果会有些差异，但是速度上来了。
拟牛顿法 基于原函数f(xk+1) 关于f(xk) 的二阶泰勒展开。设
f(xk)=f(xk+1)+f′(xk+1)(xk−xk+1)+12(xk−xk+1)Tf″(xk+1)(xk−xk+1)+o(xk+1)
令
f″(xk+1)=Bk+1 ，去掉余项
o(xk+1) ，对
xk 求导有
f′(xk)=f′(xk+1)+Bk+1(xk−xk+1) ，解出
Bk+1=f′(xk)−f′(xk+1)xk−xk+1=f′(xk+1)−f′(xk)xk+1−xkxk+2=xk+1−λf′(xk+1)/Bk+1
由于包含要求解的
xk+1 ，我们只能试着取一个值，随机取值风险很大，上述方程只能作为拟牛顿方程成立的一个必要条件。。
BFGS算法是一种迭代拟牛顿法，在满足上述必要条件的情况，保证了计算过程中的稳定，具体证明太难了。设
Bk+1=Bk+δB 。数学家用了一个很技巧性很偶然的方法，令
δB=αuuT+βvvT ，则
Bk+1=Bk+αuuT+βvvTBk+1(xk+1−xk)=f′(xk+1)−f′(xk)=Bk(xk+1−xk)+[αuT(xk+1−xk)]u+[βvT(xk+1−xk)]v
令
αuT(xk+1−xk)=1 ，
βvT(xk+1−xk)=−1 ，
u=f′(xk+1)−f′(xk) ，
v=Bk(xk+1−xk) ，刚好恒等式成立。于是有
α=1[f′(xk+1)−f′(xk)]T(xk+1−xk)β=−1[Bk(xk+1−xk)]T(xk+1−xk)=−1(xk+1−xk)TBk(xk+1−xk)
其中
Bk=BTk ，原理是我们近似认为B是二阶导，当原函数是一元函数时，B是常量，转置就是本身；当原函数是多元函数时，B近似海森矩阵，表示为
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂2f∂x21∂2f∂x2∂x1...∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22............⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
显然B可以认为是一个对称矩阵。
获得上述式子后，令
sk=xk+1−xk,yk=f′(xk+1)−f′(xk 我们写得
Bk+1=Bk+sksTkyTksk−BksksTkBksTkBKsk
值得注意的是，
Bk+1 的表达式还是包含未知的
xk+1 。定义步长参数
λk ，遍历计算
f(xk+λkdk)，dk=−f′(xk)/Bk ，取其中函数值最小时的
λk ，即求解
λk=argminf(xk+λdk) ，近似得到
sk=λk(−f′(xk)/Bk) ，然后代入
Bk+1 表达式即可。当然
λk 还有一些设置方法。我们用上述方法预先取的值，一般都受到BFGS本身的约束而不会太离谱。
BFGS方法步骤如下：
1、给定初值x0 ，收敛阈值η ，初始二阶导B0=I ，k=0
2、计算得到dk=f′(xk)/Bk ，一般Bk 是可以求逆的
3、解λk=argminf(xk+λdk) ，得到xk+1=xk−λkdk
4、如果|f′(xk+1)|<η ，终止运行
5、计算yk=f′(xk+1−f′(xk)),sk=−λkdk ，代入Bk+1 求解方程，求取Bk+1
6、k=k+1，从步骤1开始。
