第二章 思考題

2-1（在歸併排序中對最小數組採用插入排序） 雖然歸併排序的最壞情況運行時間爲θ（nlgn），而插入排序的最壞情況運行時間爲θ（n2 ）,但是插入排序中的常量因子可能使得它在n較小時，在許多機器上實際運行得更快。因此，在歸併排序中當子問題變得足夠小時，採用插入排序來使遞歸的葉變粗是有意義的。考慮對歸併排序的一種修改，其中使用插入排序來排序長度爲k的n/k個子表，然後使用標準的合併機制來合併這些子表，這裏k是一個待定的值。

a) 證明：插入排序最壞情況可以在θ（nk）時間內排序每個長度爲k的n/k個子表

b) 表明在最壞情況下如何在θ（nlg(n/k）)時間內合併這些子表

c) 假定修改後的算法的最壞情況運行時間爲θ(nk+nlg(n/k)),要使修改後的算法與標準的歸併排序具有相同的運行時間，作爲n的一個函數，藉助θ記號，k的最大值是什麼？

d) 在實踐中，我們應該如何選擇k？

a)
每張子表的排序時間爲（1+n/k）*k/2=k/2+n/2
k張表爲k2/2+nk/2 ,故複雜度爲θ（nk）
b)
將內容兩兩合併，第一次合併是複雜度是θ(n),一共比較了lg(n/k)次，故最壞情況下複雜度是nlg（n/k）
c)
nk+nlg（n/k)=nlgn解方程即可
d)
很多因素影響k，比如，操作系統中的分頁機制，受內存來影響k。

2-2 （冒泡排序的正確性） 冒泡排序是一種流行但低效的排序方法，它的作用是反覆交換相鄰的未按次序排列的元素

BUBBLESORT(A)
for i=1 to A.length-1
    for j=A.length downto i+1
        if A[j]<A[j-1}
            exchange A[j]with A[j-1]

a) 假設A’表示BUBBLESORT(A)的輸出。爲了證明BUBBLESORT正確，我們必須鍾明它將終止並且有：A’[1]<=A’[2]<=……<=A’[n],其中n=A.length。爲了證明BUBBLESORT確實完成了排序，我們還需要證明什麼？下面兩部分將證明不等式

b) 爲第2~4行的for循環精確地說明一個循環不變式，並證明該循環不變式成立。你的證明應該使用本章中給出的循環不變式證明的結構

c) 使用b部分的循環不變式的終止條件，爲第1~4行的for循環說明一個循環不變式，該不變式將使你能證明不等式2.3。你的證明應該使用本章中給出的循環不變式證明的結構。

d) 冒泡排序的最壞情況運行時間是多少？與插入排序的運行時間相比，其性能如何？

b）
循環不變式證明如下：
初始化：i=1,j=n,確保A[n-1]<A[n]
保持：將A[j-1]和A[j]比較，使得A[j-1]<A[j]
終止：當j=i+1時循環終止，因爲A[i]是已經排好的順序，此時有A[i+1]是已經排好的順序。
綜上所述，此算法正確。
c）
初始化：i=1時，內循環將找出A[1…n]中的最小值，並賦值給A[1]。A[1]僅有一個元素，故A[1]已有序。
保持：如果i=k時，A[1…k]已有序。
終止：當i=n-1時，有A’[1]<=A’[2]<=…<=A’[n-1]，而A’[n-1]是A[n-1]與A[n]中較小者，故定有A’[n-1]<=A’[n],故1到n有序。
綜上所述，此算法正確。
d)
最壞時間是（1+n）n/2,插入排序是n^2,複雜度相同，均爲θ（n2 )

2-3 （霍納Horner規則的正確性）給定係數a0,a1,……,an 和x的值，代碼片段

y=0
for i=n downto 0
    y=ai+x*y

實現了用於求值多項式

P(x)=∑k=0nak∗xk=a0+x(a1+x(a2……))

的霍納規則。

a)藉助θ記號，實現霍納規則的以上代碼片段的運行時間是多少？

b)編寫僞代碼來實現樸素的多項式求值算法，該算法從頭開始計算多項式的每個項。該算法的運行時間是多少？與霍納規則相比，其性能如何？

c)考慮一下循環不變式：在第2~3行for循環每次迭代的開始有

y=∑k=0n−(i+1)ak+i+1xk

把沒有項的和式解釋爲等於0。遵照本章中給出的循環不變式證明的結構，使用該循環不變式來證明終止時有y=∑nk=0akxk。

d）最後證明上面給出的代碼片段將正確地由係數a0,a1,……，an 刻畫的多項式的值。

a)
進行了n次運算，運行時間是θ（n）
b）
樸素多項式僞代碼：

y=0
for i=0 to n
    y=y+ai*x^i

運行時間是θ（xn ）
霍納規則的性能更高。
c)
循環不變式證明如下：
初始化：i=0時,y=a0=a0∗x0
保持：i=k時，y(k)=ak+y(k+1)=∑n−(i+1)k=0ak+i+1xk
終止：i=n時，y=∑nk=0akxk
綜上所述，此算法正確。
d)
這段代碼本質是一個遞歸。

2-4 (逆序時)假設A[1…n]是一個有n個不同數的數組。若i

a)列出數組（2，3，8，6，1）的5個逆序對。

b)由集合（1，2，…,n）中的元素構成的什麼數組具有最多的逆序對？它有多少逆序對？

c)插入排序的運行時間與輸入數組中逆序對的數量之間是什麼關係？證明你的回答。

d)給出一個確定在n個元素的任何排序中逆序對數量的算法，最壞情況需要θ（nlgn）時間（提示：修改歸併排序）

a)
(1,5)、(2,5)、(3,5)、(4,5)、(3,4)
b)
倒序的數組具有最多的逆序對
個數是：n*(n-1)/2個
c)
逆序數等於交換的次數
d)
由c)可知，逆序數等於交換的次數。這樣的話此題變成了複雜度爲θ（nlgn）的算法。算法如下：

1）採用了分治的思想，改寫了原先寫好的歸併/合併排序。
2）在每次“合併”的時候，分別拿出右側子序列中的元素，到左側子序列中比較來得出部分逆序數。
3）把三個部分的逆序數加在一起。