關於正交變換和正交矩陣一點學習筆記:
定義:設V是一個歐氏空間,А是V上的線形變換,如果對於任何向量x,y,變換А恆能使的下列等式成立則說А是V上的正交變換。
定理: А是歐氏空間V上的線形變換,下面滿足任意條件都是А成爲正交變換的充要條件。1. А使得向量長度保持不變,機對於任何x∈V有(А(x), А(x))=(x,x)
2.任意一組標準正交基經過А變換後的 基像仍是一組標準正交基。
3. А在任意一組標準正交基下的矩陣А滿足ATA=AAT=I或A-1 = AT
關於應用方面兩類常見的正交變換:
1. 平面上的旋轉變換
按照平面中的座標系經過α度旋轉得到如圖所示的變換：
А(i) = cosα*I – sinα*j
{ А(j) = sinα*j + cosα*I
А(I,j) = (I,j)( cosα,sinα)
(-sinα,cosα) y y’ x
j I α
|А| =cosα2 + sinα2 = 1
icosα
x’
-jsinα
2.反射變換 j
А(i) = I’ = I + 0*j i
А(j) = j’ = 0*I+(-1)j
А(I,j) = (I,j)(1, 0)
(0,-1)
下面將其推廣到n維空間中
初等旋轉變換:n維Euclid空間V中取一組標準正交基e1,e2…en
1
.
1
cosα … … … sinα
Rij = .
.
-sinα… … … cosα
1
此時確定的變換爲初等旋轉變換也叫做Givens變換,具備兩個性質①行列式值爲1
②是正交變換Rij爲正交陣
①可以通過下面證明:自己推導令C = cosα, S = sinα
則可以化成
1
.
1
C … … … S
Rij = .
.
-S… … … C
1
可以通過分解消元上下角可以消去
|Rij| = 1* C … … … S
1
.
-S… … … C
再通過內部消去分解可以得到
|Rij| = C S = C2+ S2 = cosα2 + sinα2=1
-S C
② RijTRij = 1 1
. .
1 1
C … … … -S C … … … S
. .
. .
S … … … C -S … … …C
1 1
1
.
1
C2+S2 … … …C2+S2
Rij = . = I
.
C2+S2… … … C2+S2
1
還有一個鏡象變換圖片太難畫不搞了,用途可以用於n維空間中將圖片進行旋轉。提供簡單計算公式。後面掃描圖片算了畫是畫死了。
