具體方法見如下代碼筆記:
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Jul 26 16:11:18 2018
@author: Administrator
"""
import numpy as np
a = np.array([5, 5, -5, -5])
b = np.array([2, -2, 2, -2])
# 真除
print(a / b) # [2.5 -2.5 -2.5 2.5]
print(np.true_divide(a, b)) # [2.5 -2.5 -2.5 2.5]
print(np.divide(a,b)) # [2.5 -2.5 -2.5 2.5]
# 地板除
print(a // b) # [ 2 -3 -3 2]
print(np.floor_divide(a, b)) # [ 2 -3 -3 2]
# 天花板除
print(np.ceil(a / b).astype(int)) # [ 3 -2 -2 3]
print(np.ceil(a / b)) # [ 3. -2. -2. 3.] float
'''
np.ceil(a / b).astype(int) # float --> int
'''
# 截斷除
print((a / b).astype(int)) # [ 2 -2 -2 2]
print(np.trunc(a / b).astype(int)) # [ 2 -2 -2 2]
# 地板除餘數
print(a % b) # [ 1 -1 1 -1]
'''
餘數 = 被除數 - 除數 * 商
(理論上,對於負數除法,餘數會有2個,-7/3:3*(-3)+2;3*(-2)-1 餘數:(2,-1))
對python而言,除法使商儘可能小,
因此負數除法 -7/3 商會取-3而不是-2,餘數取負餘數-1 (詳情見下文)
'''
print(np.remainder(a, b)) # [ 1 -1 1 -1]
print(np.mod(a, b)) # [ 1 -1 1 -1]
# 截斷除餘數
print(np.fmod(a, b)) # [ 1 1 -1 -1]
轉載自:寧心勉學,慎思篤行
原文鏈接:實數範圍內的求模(求餘)運算:負數求餘究竟怎麼求
首先,看看自然數的取模運算(定義1):
如果a和d是兩個自然數,d非零,可以證明存在兩個唯一的整數 q 和 r,滿足 a = qd + r 且0 ≤ r < d。其中,q 被稱爲商,r 被稱爲餘數。
那麼對於負數,是否可以沿用這樣的定義呢?我們發現,假如我們按照正數求餘的規則求 (-7) mod 3 的結果,就可以表示 -7 爲 (-3)* 3 +2。其中,2是餘數,-3是商。
那麼,各種編程語言和計算器是否是按照這樣理解的呢?下面是幾種軟件中對此的理解。
語言 | 語句 | 輸出 |
---|---|---|
C++(G++ 編譯) | cout << (-7) % 3 | -1 |
Java(1.6) | System.out.println((-7) % 3); | -1 |
Python 2.6 | (-7) % 3 | 2 |
百度計算器 | (-7) mod 3 | 2 |
Google 計算器 | (-7) mod 3 | 2 |
可以看到,結果特別有意思。這個問題是百家爭鳴的。看來我們不能直接把正數的法則加在負數上。實際上,在整數範圍內,自然數的求餘法則並不被很多人所接受,大家大多認可的是下面的這個定義2。
如果a 與d 是整數,d 非零,那麼餘數 r 滿足這樣的關係:
a = qd + r , q 爲整數,且0 ≤ |r| < |d|。
可以看到,這個定義導致了有負數的求餘並不是我們想象的那麼簡單,比如,-1 和 2 都是 (-7) mod 3 正確的結果,因爲這兩個數都符合定義。這種情況下,對於取模運算,可能有兩個數都可以符合要求。我們把 -1 和 2 分別叫做正餘數和負餘數。通常
當除以d 時,如果正餘數爲r1,負餘數爲r2,那麼有r1 = r2 + d
對負數餘數不明確的定義可能導致嚴重的計算問題,對於處理關鍵任務的系統,錯誤的選擇會導致嚴重的後果。
看完了 (-7) mod 3,下面我們來看一看 7 mod (-3) 的情況(看清楚,前面是 7 帶負號,現在是 3 帶負號)。根據定義2,
7 = (-3) * (-2) + 1 或 7 = (-3) * (-3) -2,所以餘數爲 1 或 -2。
語言 | 語句 | 輸出 |
---|---|---|
C++(G++ 編譯) | cout << 7 % (-3); | 1 |
Java(1.6) | System.out.println(7 % (-3)); | 1 |
Python 2.6 | 7 % (-3) | -2 |
百度計算器 | 7 mod (-3) | -2 |
Google 計算器 | 7 mod (-3) | -2 |
C++ 和 Java 通常會盡量讓商更大一些。比如在 (-7) mod 3中,他們以 -2 爲商,餘數爲 -1。在 Python 和 Google 計算器中,儘量讓商更小,所以以 -3 爲商。在 7 mod (-3) 中效果相同:C++ 選擇了 3 作爲商,Python 選擇了 2 作爲商。但是在正整數運算中,所有語言和計算器都遵循了儘量讓商小的原則,因此 7 mod 3 結果爲 1 不存在爭議,不會有人說它的餘數是-2。
如果按照第二點的推斷,我們測試一下 (-7) mod (-3),結果應該是前一組語言(C++,Java)返回 2,後一組返回 -1。
語言 | 語句 | 輸出 |
---|---|---|
C++(G++ 編譯) | cout << -7 % (-3); | -1 |
Java(1.6) | System.out.println(-7 % (-3)); | -1 |
Python 2.6 | -7 % (-3) | -1 |
百度計算器 | -7 mod (-3) | -1 |
Google 計算器 | -7 mod (-3) | -1 |
結果讓人大跌眼鏡,所有語言和計算機返回結果完全一致。
總結
對於任何同號的兩個整數,其取餘結果沒有爭議,所有語言的運算原則都是使商儘可能小。
對於異號的兩個整數,C++/Java語言的原則是使商儘可能大,很多新型語言和網頁計算器的原則是使商儘可能小。