堆排序
1、堆
如图6-1所示，（二叉）堆是一个数组，它可以被看成一个近似的完全二叉树。树上的每一个结点对应数组中的一个元素。除了最底层外，该树是完全充满的，而且是从左向右填充。表示堆的数组A包括两个属性：A.length（通常）给出数组元素的个数，A.heap-size表示有多少个堆元素存储在该数组中。也就是说，虽然A[1..A.length]可能都存有数据，但只有A[1..A.heap-size]中存放的是堆的有效元素，这里，0<=A.heap-size<=A.length。树的根节点是A[1]，这样给定一个结点的下标i，我们很容易计算得到它的父结点、左孩子和右孩子的下标：
PARENT(i)
<span style="white-space:pre"> </span>return『i/2』LEFT(i)
<span style="white-space:pre"> </span>return 2iRIGHT(i)
<span style="white-space:pre"> </span>return 2i+1
二叉堆可以分为两种形式：最大堆和最小堆。在这两种堆中，结点的值都要满足堆的性质，但一些细节定义则有所差异。在最大堆中，最大堆性质是指除了根以外的所有结点i都要满足：
A[PARENT(i)]>=A[i]
也就是说，某个结点的值至多与其父结点一样大。因此，堆中的最大元素存放在根节点中；并且，在任一子树中，该子树所包含的所有结点的值都不大于该子树根结点的值。
下面我们开始介绍一些基本过程，并说明如何在排序算法中应用它们。
- MAX-HEAPIFY过程：其时间复杂度为O(lgn)，它是维护最大堆性质的关键。
- BUILD-MAX-HEAP过程：具有线性时间复杂度，功能是从无序的输入数据数组中构造一个最大堆。
- HEAPSORT过程：其时间复杂度为O(lgn)，功能是对一个数组进行原址排序。
- MAX-HEAP-INSERT、HEAP-EXTRACT-MAX、HEAP-INCREASE-KEY和HEAP-MAXIMUM过程：时间复杂度为O(lgn)，功能是利用对实现一个优先队列。
2、维护堆的性质
MAX-HEAPIFY是用于维护最大堆性质的重要过程。它的输入为一个数组A和一个下标i。在调用MAX-HEAPIFY的时候，我们假定根结点为LEFT(i)和RIGHT(i)的二叉树都是最大堆，但这时A[i]有可能小于其孩子，这样就违背了最大堆的性质。MAX-HEAPIFY通过让A[i]的值在最大堆中“逐级下降”，从而使得以下标i为根结点的子树重新遵循最大堆的性质。
MAX-HEAPIFY(A,i)
<span style="white-space:pre"> </span>l=LEFT(i)
<span style="white-space:pre"> </span>r=RIGHT(i)
<span style="white-space:pre"> </span>if l<=A.heap-size and A[l]>A[i]
<span style="white-space:pre"> </span>largest=l
<span style="white-space:pre"> </span>else largset=l
<span style="white-space:pre"> </span>if r<=A.heap-size and A[r]>A[largest]
<span style="white-space:pre"> </span>largest=r;
<span style="white-space:pre"> </span>if largest!=i
<span style="white-space:pre"> </span>exchange A[i] with A[largest]
<span style="white-space:pre"> </span>MAX-HEAPIFY(A,largest)下图6-2图示了MAX-HEAPIFY的执行过程。在程序的每一步中，从A[i]、A[LEFT(i)]和A[RIGHT(i)]中选出最大的，并将其下标存储在largest中。如果A[i]是最大的，那么以i为根结点的子树已经是最大堆，程序结束。否则，最大元素是i的某个孩子结点，则交换A[i]和A[largest]的值。从而使i及其孩子都满足最大堆的性质。在交换后，下标为largest的结点的值是原来的A[i]，于是以该结点为根的子树又有可能会违反最大堆的性质。因此，需要对该子树递归调用MAX-HEAPIFY。
3、建堆
我们可以用自底向上的方法利用过程MAX-HEAPIFY把一个大小为n=A.length的数组A[1..n]转换为最大堆。我们知道，子数组A(『n/2』+1..n)中的元素都是树的叶结点。每个叶结点都可以看成只包含一个元素的堆。过程BUILD-MAX-HEAP对树中的其他结点都调用一次MAX-HEAPIFY。
BUILD-MAX-HEAP(A)
<span style="white-space:pre"> </span>A.heap-size=A.length
<span style="white-space:pre"> </span>for i=[A.length/2] downto 1
<span style="white-space:pre"> </span>MAX-HEAPIFY(A,i) 
4、堆排序算法
初始时候，堆排序算法利用BUILD-MAX-HEAP将输入数组A[1..n]建成最大堆，其中n=A.length。因为数组中的最大元素总在根结点A[1]中，通过把它与A[n]进行互换，我们可以让该元素放到正确的位置。这时候，如果我们从堆中去掉结点n（这一操作可以通过减少A.heap-size的值来实现），剩余的结点中，原来根的孩子结点仍然是最大堆，而新的根结点可能会违背最大堆的性质。为了维护最大堆的性质，我们要做的是调用MAX-HEAPIFY(A,1)，从而在A[1..n-1]上构造一个新的最大堆。堆排序算法会不断重复这一过程，直到堆的大小从n-1降到2。
HEAPSORT(A)
<span style="white-space:pre"> </span>BUILD-MAX-HEAP(A)
<span style="white-space:pre"> </span>for i=A.length downto 2
<span style="white-space:pre"> </span>exchange A[i] with A[i]
<span style="white-space:pre"> </span>A.heap-size=A.heap-size - 1
<span style="white-space:pre"> </span>MAX-HEAPIFY(A,1)
