快速求正整數次冪

快速求正整數次冪，當然不能直接死乘。舉個例子：

3 ^ 999 = 3 * 3 * 3 * … * 3

直接乘要做998次乘法。但事實上可以這樣做，先求出2^k次冪：

3 ^ 2 = 3 * 3
3 ^ 4 = (3 ^ 2) * (3 ^ 2)
3 ^ 8 = (3 ^ 4) * (3 ^ 4)
3 ^ 16 = (3 ^ 8) * (3 ^ 8)
3 ^ 32 = (3 ^ 16) * (3 ^ 16)
3 ^ 64 = (3 ^ 32) * (3 ^ 32)
3 ^ 128 = (3 ^ 64) * (3 ^ 64)
3 ^ 256 = (3 ^ 128) * (3 ^ 128)
3 ^ 512 = (3 ^ 256) * (3 ^ 256)

再相乘：

3 ^ 999
= 3 ^ (512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1)
= (3 ^ 512) * (3 ^ 256) * (3 ^ 128) * (3 ^ 64) * (3 ^ 32) * (3 ^ 4) * (3 ^ 2) * 3

這樣只要做16次乘法。即使加上一些輔助的存儲和運算，也比直接乘高效得多（尤其如果這裏底數是成百上千位的大數字的話）。

我們發現，把999轉爲2進制數：1111100111，其各位就是要乘的數。這提示我們利用求二進制位的算法（其中mod是模運算）：

REVERSE_BINARY(n)
1 while (n > 0)
2     do output (n mod 2)
3       n ← n / 2

這個算法給出正整數n的反向二制進位，如6就給出011（6的二進制表示爲110）。事實上這個算法對任意的p進制數是通用的，只要把其中的2換成p就可以了。

如何把它改編爲求冪運算？我們發現這個算法是從低位向高位做的，而恰好我們求冪也想從低次冪向高次冪計算（參看前面的例子）。而且我們知道前面求出的每個2^k次冪只參與一次乘法運算，這就提示我們並不把所有的中間結果保存下來，而是在計算出它們後就立即運算。於是，我們要做的就是把輸出語句改爲要做的乘法運算，並在n減少的同時不斷地累積求2^k次冪。

還是看算法吧：

POWER_INTEGER(x, n)
1 pow ← 1
2 while (n > 0)
3     do if (n mod 2 = 1)
4            then pow ← pow * x
5       x ← x * x
6       n ← n / 2
7 return pow

不難看出這個算法與前面算法的關係。在第1步給出結果的初值1，在while循環內進行運算。3、4中的if語句就來自REVERSE_BINARY的輸出語句，不過改成了如果是1則向pow中乘。5句則是不斷地計算x的2^k次冪，如對前面的例子就是計算2^2、2^4、2^8、…、2^512。

應該指出，POWER_INTEGER比前面分析的要再多做兩次乘法，一次是向pow中第一次乘x，如2^1也要進行這個乘法；另一次則是在算法的最後，n除以2後該跳出循環，而前面一次x的自乘就浪費掉了（也可以考慮改變循環模式優化掉它）。另外，每趟while循環都要進行一次除法和一次模運算，這多數情況下除法和模運算都比乘法慢許多，不過好在我們往往可以用位運算來代替它。

相應的C++代碼如下

NumberType pow_n(NumberType x, unsigned int n)
{
    NumberType pw = 1;
    while (n > 0) {
        if (( n % 2) == 1)
            pw *= x;
        x *= x;
        n /= 2;
    }
    return pw;
}

進行簡單的優化後則有：

NumberType optimized_pow_n(NumberType x, unsigned int n)
{
    NumberType pw = 1;
    while (n > 0) {
        if (n & 1)        // n & 1 等價於 (n % 2) == 1
            pw *= x;
        x *= x;
        n >>= 1;        // n >>= 1 等價於 n /= 2
    }
    return pw;
}

注1：快速求冪算法POWER_INTEGER常被寫成遞歸的形式，算法實質完全相同，但卻是無必要的。

注2：這個算法並不是做乘法數最少的，但多數情況下是足夠快並且足夠簡單的。如果單純追求做乘法數最少，則未必應該用2^k次冪進行計算。如果還允許做除法，則問題會進一步複雜化。

如：

x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 16 = (x ^ 8) * (x ^ 8)
x ^ 31 = (x ^ 16) * (x ^ 8) * (x ^ 4) * (x ^ 2) * x
要8次乘法。

x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 10 = (x ^ 8) * (x ^ 2)
x ^ 20 = (x ^ 10) * (x ^ 10)
x ^ 30 = (x ^ 20) * (x ^ 10)
x ^ 31 = (x ^ 30) * x
只要7次乘法。

x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 16 = (x ^ 8) * (x ^ 8)
x ^ 32 = (x ^ 16) * (x ^ 16)
x ^ 31 = (x ^ 32) / x
只要6次乘或除法。

不過具體得出上述乘（除）法數更少的算法會變得相當複雜，在許多情況下時間收益還會得不償失。因此往往並不實用。ACM Japan 2006中有一道題即要求計算最少乘法數，可參看：

http://acm.pku.edu.cn/Judg