數據結構總結

常見的數據結構運用總結

考慮到Obsidian三個成員的擅長領域，這段時間都在做雜題，算是學習各種算法吧，趁現在休息的時間，而且大家馬上要備戰今年的比賽了，寫寫自己專攻方面的一些心得吧

扯開線段樹、平衡樹這些中高級的東西，先說說基礎的數據結構

棧

算是代碼量最小的數據結構？出棧進棧都只有一句話而已

常見用途：
消去一個序列中的相同元素(做法大家應該都知道了吧，見過很多次了)
維護一個單調的序列(所謂的單調棧，dp的決策單調？)
表達式求值(經典的棧運用，如果使用的很熟悉的話，可以處理一元、二元運算，不過最近沒見過類似的題目了)
用於輔助其他算法(計算幾何中的求凸包)

隊列

隊列應該還是很常見的數據結構了，如果專攻圖論的話，spfa應該是寫爛了的
這裏說到的隊列，是狹義的普通的隊列和循環隊列，不包括後面講的一些變形
注意循環隊列的寫法，儘量不要使用取模運算，不然的話，遇到不厚道的出題者，可以把取模的循環隊列卡到死

常見用途：
主要用於輔助其他算法，比如說spfa，bfs等(建議習慣用stl的孩子手寫queue，畢竟就幾行代碼而已，偷懶會付出代價的。。。)

雙端隊列

如果寫dp寫的多的話，這個東西應該還是算是比較基礎的東西了，雙端隊列多用於維護一個滿足單調性的隊列
還是建議手寫，stl的deque使用塊狀鏈表寫的，那東西的複雜度是O(Nsqrt(N))的，不要被迷惑了。

常見用途：
dp的單調性優化，包括單調隊列優化和斜率優化，都要用到這個結構
計算幾何中的算法優化，比如半平面交
樹的分治問題中利用單調隊列減少轉移複雜度

鏈表 Dancing Links

寫圖論的不要告訴我不會寫這貨，鏈表可以寫單雙向，循環非循環的，高級點兒的可以考慮十字鏈表，麻花鏈表
不過鏈表可以說是樹形結構的基礎，如果這個掌握的不好，那麼樹形結構寫起來就會很糾結
鏈表的優勢在於可以O(1)的插入刪除，如果要求插入的位置只是在序列的兩端的話，這個數據結構是最方便的了(無視雙端隊列)
hash表就是用鏈表實現的，熟悉hash的同學可以試試看怎麼使你的hash效率提高

常見用途：
圖的鄰接表，維護不確定規模的二維數組
約瑟夫問題，複雜度O(NlogN)
單純考鏈表的題目，比如說類似文本編輯器的東西
算法實現上輔助，比如說POJ3183
搜索優化，最經典的就是Dancing Links
維護路徑，嗯，這類問題就比較噁心了，有兩題都是類似的問題，題的名字都叫做植物大戰殭屍……

字典樹 自動機

字典樹又稱爲前綴樹，用於維護一系列串(不一定是字符串，可以把一個數字看成二進制串，k進制串等)，我們可以通過字典樹解決很多關於串的問題

常見用途：
字符串匹配(最基礎的用途了吧)
字符串hash(利用字典樹可以在O(N)的時間內查出一個串是否在集合中，N是串的長度)
構建dp轉移矩陣(其實很多題目都是利用自動機構建轉移矩陣，然後矩陣快乘的，這也算是比較基礎的運用了)
字符串在自動機上的dp(這個是很大的一塊，算是自動機最大的運用點)

堆 優先隊列

堆在這段時間運用的次數明顯增加了很多，自從某學校出了那計算幾何掃描線之後，大家對這個數據結構不像原來那麼陌生了
普通堆代碼量在20到30行左右，如果需要支持更改權值，刪除特定結點的操作的話，需要改點堆，代碼會多那麼10行左右
大家對於堆的最早理解，可能就是堆優化dij了，這個也算是它的一個很重要的運用吧

常見用途
堆優化dijkstra(很經典的運用)
極角掃描線(詳見Visible Segments)
某些貪心的題(我記得ZOJ月賽出過好幾次的？CF也有類似的題目，還有一題經典的倒水問題HDU1692)
堆優化的prim(已經很久沒見過非要這麼寫的題目了，最經典的問題是最優比例生成樹)
搜索中的優化(大家都懂得，A*算法基於優先隊列)
滿足偏序關係的集合(其實極角掃描線算是這個的一個子類了，很多問題可以轉化過來)

並查集

這個東西應該在關於樹的問題中非常常見了，用在非常多關於集合的合併問題上

常見用途：
離線LCA(tarjan算法的精髓就是並查集)
集合維護，比如說POJ的食物鏈和我們OJ的Food，這個算是擴展並查集的經典運用之一

幾類可以用基礎數據結構解決的經典樹上統計問題
求一顆樹中任意兩點間的距離，我們可以離線LCA，利用並查集維護點到父親結點的距離，每次找到LCA之後，在LCA結點拉一個處理鏈表，回溯到LCA的時候處理全部以這個點爲LCA的所有查詢。
靜態查詢一棵樹某條路徑上的最大最小邊權，利用並查集維護點到其父親結點這條路徑上的最大邊權即可。
給你一棵樹，叫你求一條有向路徑上前面一個點減去後面一個點的點權差值最大，依然是擴展並查集，怎麼實現大家自己想吧。
還有一題是HDU的3804，很經典的題目，這題可以用四種不同的方法過，大家有興趣的可以YY一下。

基礎的數據結構告一段落，下面主要講講線段樹和樹狀數組的運用吧，直接說常見用途了，畢竟這個大家用的太多了

常見用途(不擴展)：
dp優化(非常多的dp問題可以用樹狀數組和數據結構來優化，比如說我們校賽初賽和決賽的某題，dp專題的某題，還有LIS的O(NlgoN)優化等等)
括號序列、樹的線性序列統計問題(之前發過了，就不擴展了)

更新點查找區間，更新區間查找點
這個經典問題都是可以利用樹狀數組來做的，可以說樹狀數組太強大了，代碼短常數小，如果遇到此類的問題，那就是裸的不能再裸了，專攻數據結構的，需要對這類問題的經典模型儘量多的進行掌握。
這類問題最常見的用處就是求逆序對(HDU1394)和求一個區間內一堆直線相交的個數(保證不會有三條直線交於一點，例子ZOJ3157)
URAL1470，三維樹狀數組，其實和二維沒啥區別，就是要抓住如何更新
樹狀數組的經典運用有兩題經典題，一個是POJ2828，一個是HDU3436，後者是前者的動態版，如果可以自己想出這兩題的做法，基本上基礎的樹狀數組題目是沒有問題了。

更新區間查找區間
這類問題一般是不能使用樹狀數組來做的(那啥用差分求區間和的無視，那種只是特例而已)，一般正式比賽考察的比較多的就是這類問題，非常重視對懶操作的實現，一般建議大家寫一個上傳和一個下放函數，即使是就一行，寫到函數中，擴展起來可以更方便。
如果想鍛鍊自己對數據結構的掌握程度，可以嘗試利用樹狀數組和線段樹來做Memory Control這題，如果能想出三種或者三種以上的狀態定義方法，就基本上合格了。
另外還有一題非常好的考察基本功的題目，是HDU1199，一般的離散化是會有問題的，就看大家怎麼寫了。
對於懶操作考察的另外一題是POJ3225，算是比較經典的區間翻轉的範例了。
如果以上的題目都解決了，就去寫zhymaoiing的Rain in the ACStar吧，我們OJ就有，這題寫了 基本上對計算幾何和數據結構的綜合就有感覺了。
最後建議大家去寫寫SPOJ的GSS系列和QTREE系列，這兩個系列在後面會專門提到。

掃描線
這種問題主要遇到的模型有以下幾種，括號中是對應的時間複雜度
給你N個矩形，求矩形的並面積(O(NlogN))
給你N個矩形，求矩形的並周長(O(NlogN))
給你N個矩形，每一個矩形有一定的權值，權值最多有K種，求加權的面積並，其中重疊部分用最大權值計算(O(NKlogN))
給你N個矩形，叫你求被覆蓋恰好K次或者至少K次的面積(O(NKlogN))
給你N個矩形，每一個矩形有一定的權值，權值最多有K種，求加權的面積並，其中重疊部分用特定的公式計算混合權值(O(2^K*NlogN))
給你N個點，用一個矩形覆蓋最多的點(O(NlogN))
給你N個點，M個矩形，詢問每一個點是否被包含在任意一個矩形中(O((N+M)log(N+M)))
給你N個點，點分爲可選點和不可選點，詢問用一個矩形覆蓋的最多可選點的數量，任何不可選點都不能被覆蓋，詢問覆蓋最多點的方案數(O(NlogN))

*樹鏈剖分 QTREE
這個是很大的一塊，但是也是很噁心的一塊內容，如果你覺得自己基礎的問題都沒有了的話，可以考慮兩個選擇，一個是學習這個，另外一個就是做做GSS
熟練剖分詳看漆子超的論文，具體實現就不講了，常見的題目，最經典還是SPOJ的QTREE系列了，這個對代碼能力的要求還是很苛刻的，在比賽中，如果遇到這類問題，如果又沒有強大的代碼能力，又沒有足夠的時間，那就不要去碰它吧。此外剖分推薦GSS7，經典題之一。
我做過的剖分題的列表：SPOJ QTREE1-4 HDU3601 POJ3237 ZJOI2008樹的統計 SPOJ GSS7 HDU3804(如果想寫就寫吧，這題不用剖分的) HDU3966(依然是一道可以不用剖分的題目)

*GSS系列解釋
GSS系列是SPOJ的經典線段樹題了，其中1、3、5是基礎的題目，建議大家在學習了線段樹後作爲強化用，GSS2和GSS7，其中GSS2是一個非常經典的模型，建議大家花一週的時間慢慢啃，如果自己思維好的話，有可能一個下午想出做法，不過那個題不是想出來就能寫出來的。。。GSS7是一個剖分，算是裸的題目了，就是維護的量太多，建議大家代碼能力提高之後再來寫寫。GSS6不是基礎的數據結構題，我將在後面提到這題。

以上的數據結構可以覆蓋區域賽的中低檔題，其中GSS2如果在區域賽中，完全可以算是難題了(前提是沒見過此類問題)，對於區域賽中，這些數據結構可以說佔了90%以上

下面是一些偏們的數據結構和一些高級數據結構的介紹

劃分樹

劃分樹是一個可以在O(NlogN)時間內求出每一個子區間內第K小的數的數據結構，可以算是模板化的東西了，經常和樹狀數組結合來考察，不過考的不多，所以建議如果專攻數據結構的可以考慮學習一下，但是不要太過於鑽難題。

左偏樹 斜堆

兩類經典的可合併堆，可以在O(NlogN)時間內對數集進行合併，維護最值，建議學習一個，不建議都學習，我覺得沒必要。

塊狀鏈表

可以說在Splay沒有出來的年代，這個是萬能的武器，在O(Nsqrt(N))的時間內可以進行序列的翻轉、查詢操作，可以算是非常無敵了，但是在Splay出來了之後基本上就被遺棄了，不過塊狀鏈表的思想是非常好的，CF經常考察利用塊狀鏈表做的題目，要學習的話，就專門去看看其思想吧

跳錶

這個利用鏈表進行優化的數據結構，基本上沒啥用處，不過可以提提，時間複雜度是均攤的，沒有發現一定要這個數據結構解決的問題

平衡樹

平衡樹可以做幾乎所有關於數集的維護操作，常見的平衡樹有SBT和Splay，一般的話，建議如果專攻數據結構的可以在鞏固了基礎數據結構的基礎上，學學這兩種平衡樹。對這兩種結構進行比較，Splay的功能和SBT比起來，強大了不止一個檔次，但是相應地，其代碼量也大了不止一個檔次。按照我的代碼風格，SBT的代碼一般維持在150行左右，但是非要Splay來寫的題目，一般代碼量會超過200行，甚至超過300行。
如果是對數據集合進行維護，我們一般考慮使用SBT，因爲其編碼十分方便，常數相對也小了很多，所以首選是這個。相反的，如果涉及到維護序列的問題，那麼就需要使用Splay來維護了。
記住一點，那就是好的代碼風格，對數據結構的專攻者來說，是非常重要的，相同的結構，有的人需要300行，而且查代碼十分不方便，好一點的寫法，可以在150行左右解決。對於最簡單的SBT問題，一般代碼量可以保證在100行左右，那麼也就差不多了。畢竟代碼寫的亂的話，寫掛了就不好查了，隊友更沒辦法幫你差，這樣就會悲劇。

SBT相關的問題，最基礎的是樹的遍歷和數集的統計問題，比如說舉個例子：
給你10^9個數，有兩種操作，一個是查詢第K小的數是多少，一個是刪除第K小的數，很明顯，這種動態的問題是不能使用離散化加樹狀數組來實現的，因爲刪除的元素也是不確定的。
看到這題第一眼的反應，樹狀數組，但是發現刪除的也是第K小，那麼我們就只能使用平衡樹了，注意我們肯定不能把10^9個數加入到集合中，這樣會MLE的，具體的做法自己可以想想，其實和前面提到的Queue Jumper那題類似，需要一個轉化。

常見的SBT操作，需要掌握的有以下幾個：
數集相關的操作：
插入刪除元素，查詢一個比K小的數的個數，查詢樹中第K小的數，查找元素的前趨後繼，查詢一個數在集合中出現的次數，刪除第K小的數，查詢最值。
序列相關的非動態操作(不需要查詢區間或者做區間翻轉等高級操作)
把一個元素插入到指定位置，刪除第K個位置的元素。

對於Splay，我想說的是，這個數據結構運用的地方實在太多了，基本上其他平衡樹可以做的，它都可以，但是它可以做的，其他平衡樹不一定可以做。去年天津賽區的現場賽還有福州賽區的網絡賽都考到了Splay的運用，這種題目在區域賽中一般難度都比較大，平時的話，多寫寫就當作鍛鍊代碼能力吧。
這裏列舉一些Splay可以做的事兒，其中SBT可以完成的我就不列舉了。
給你一個雙關鍵字的集合，求滿足第一關鍵字在[l,r]區間內的結點的最小關鍵字(Parking Log)，維護一個序列，求[l,r]的和、最大連續子字段和，對[l,r]區間進行翻轉操作(維護數列)，叫你維護一個可合併可拆分的並查集，其中拆分是一個元素從一個集合轉移到另外一個集合(LRJ的數據結構專場，DS@HUST，當然這題可以不用Splay)，給你一些結點，現在有合併兩個集合，查詢集合的最值、第K大操作(四川省OI2011棘手的操作，2011天津賽區Graph and Queries)。

此外我們可以把Splay運用到樹鏈剖分中去，利用Splay進行路徑剖分，用splay forest來維護路徑，這樣可以在O(NlogN)時間內維護一棵樹，甚至是一個森林所有樹的特性，這就是經典的動態樹問題，如果想了解的，可以問我，不過前提是把基礎的啃透了:)

平衡樹的資料還是很多的，推薦陳啓鋒的《Size Balanced Tree》以及某論文《利用伸展樹解決維護數列問題》，對於動態樹的論文，個人認爲中文版的都是不能看的，推薦Tarjan的lecture。

對於數據結構的其他方面
高級數據結構需要的是一個自己非常熟悉的模板(前期還是要靠模板活的，熟悉之後的話另當別論了，當然比賽帶上模板可以心安)，不過對於數據結構，個人不推薦貼模板，這個如果養成了習慣的話，代碼能力是絕對上不來的，如果學了高級數據結構的話，建議每次有題寫的時候自己手敲一下，就當培養感情吧。