《計算機程序的構造和解釋》學習筆記———數值積分

一、數值分析

  數值分析（英語：numerical analysis），是指在數學分析（區別於離散數學）問題中，對使用數值近似（相對於一般化的符號運算）演算法的研究。

  （參考：http://zh.wikipedia.org/wiki/數值分析）

  研究領域：

    1.函數求值

    2.內插法、外推法、曲線擬合及回歸

    3.求解方程及方程組

    4.求解特徵值或奇異值問題

    5.最優化

    6.積分計算

    7.微分方程

二、數值積分

  在數值分析中，數值積分是計算定積分數值的方法和理論。在數學分析中，給定函數的定積分的計算不總是可行的。許多定積分不能用已知的積分公式得到精確值。數值積分是利用黎曼積分等數學定義，用數值逼近的方法近似計算給定的定積分值。

  （參考：http://zh.wikipedia.org/wiki/數值積分）

三、數值積分方法：

  矩形法：（黎曼積分，計算一維定積分近似值）

   

   LISP實現（中矩形公式）：

(define (sum term a next b)
  (if (> a b)
      0
      (+ (term a) (sum term (next a) next b))))
(define (integral f a b dx)
  (define (integral-next x)
    (+ x dx))
  (* (sum f (+ a (/ dx 2.0)) integral-next b) dx))

  插值法：

    拉格朗日差值公式（http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E6%8F%92%E5%80%BC%E6%B3%95）

  牛頓-寇次公式：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%9B%E9%A0%93%EF%BC%8D%E5%AF%87%E6%AC%A1%E5%85%AC%E5%BC%8F

    拓展實現：辛普森法則；梯形法則。

    梯形法則：（可LISP實現）

       思想：被積函數近似為直線函數，被積的部分近似為梯形。

      （求解多個梯形面積和）

  

      （利用梯形面積推導）

    辛普森法則：（可LISP實現）

       思想：被積函數近似爲過中點的二次函數。（以二次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式，以求得定積分的數值近似解。）

 

    （利用二次函數積分推導）

(define (integral-v3 f a b n) 
(define (integral-inner f a b k n)
  (define (pre-fix x)
    (cond ((= x 0) 1)
          ((= x n) 1)
          ((even? x) 2)
          (else 4)))
  (if (or (> a b) (> k n))
     0
     (+ (* (/ (/ (- b a) n) 3.0)
           (pre-fix k)
           (f (+ a (* k (/ (- b a) n)))))
        (integral-inner f a b (+ k 1) n))))
(integral-inner f a b 0 n))