第三課 排列與組合

例5：有3個人排成一個隊列，問有多少種排對的方法，輸出每一種方案？

分析：如果我們將3個人進行編號，分別爲1、2、3，顯然我們列出所有的排列，123，132，213，231，312，321共六種。可用循環枚舉各種情況，參考程序：

program exam5;

var

    i,j,k:integer;

begin

    for I:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do

        for k:=1 to 3 do

        if (i+j+k=6) and (i*j*k=6) then writeln(i,j,k);

end.

上述情況非常簡單，因爲只有3個人，但當有N個人時怎麼辦？顯然用循環不能解決問題。下面我們介紹一種求全排列的方法。

設當前排列爲P1 P2 ,…,Pn，則下一個排列可按如下算法完成：

1．求滿足關係式Pj-1 < Pj的J的最大值，設爲I，即

I=max{j | Pj-1 < Pj , j = 2..n}

2．求滿足關係式Pi -1 < Pk的k的最大值，設爲j，即

J=max{K | Pi-1 < Pk , k = 1..n}

3．Pi -1與Pj互換得 (P) = P1 P2 ,…,Pn

4．(P) = P1 P2 ,…, Pi-1 Pi,…, Pn部分的順序逆轉，得P1 P2 ,…, Pi-1 Pn Pn-1,…, Pi便是下一個排列。

例：設P1 P2 P3 P4 =3421

1．I= max{j | Pj-1 < Pj , j = 2..n} = 2

2．J=max{K | Pi-1 < Pk , k =1..n} = 2

3．P1與P2交換得到4321

4．4321的321部分逆轉得到4123即是3421的下一個排列。

程序設計如下：

program exam5;

const

     maxn     = 100;

var   i,j,m,t : integer;

      p       : array[1..maxn] of integer;

      count   :integer;         {排列數目統計變量}

begin

    write('m:');readln(m);

    for i:=1 to m do begin p[i]:=i; write(i) end;

    writeln;

    count:=1;

    repeat

{求滿足關係式Pj-1 < Pj的J的最大值，設爲I}

      i:=m;

      while (i>1) and (p[i-1]>=p[i]) do dec(i);

      if i=1 then break;

   {求滿足關係式Pi -1 < Pk的k的最大值，設爲j}

      j:=m;

      while (j>0) and (p[i-1]>=p[j]) do dec(j);

      if j=0 then break;

    {Pi -1與Pj互換得 (P) = P1 P2 ,…,Pm}

      t:=p[i-1];p[i-1]:=p[j];p[j]:=t;

{Pi,…, Pm的順序逆轉}

      for j:=1 to (m-i+1) div 2 do begin

          t:=p[i+j-1];p[i+j-1]:=p[m-j+1];p[m-j+1]:=t

      end;

    {打印當前解}

    for i:=1 to m do write(p[i]);

    inc(count);

    writeln;

    until false;

    writeln(count)

End.

 #include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
int *arg=0;//數組
int Num=0;//數組個數
void fun( int x );
int t=0;
int main()
{
  int i=0;
  scanf( "%d",&Num );
  arg=( int* )malloc( sizeof( int )*Num );

  for ( i=0; i<Num; i++ ) {
    arg[i]=i+1;
  }

  fun( Num );
  free( arg );
  return 1;
}
void fun( int aix )
{
  int temp=0;
  int i=0;
  int* p=NULL;

  if ( 1==aix ) {
    for ( i=0; i<Num; i++ )
      printf( "%d ",arg[i] );

    printf( "/n" );
  }

  if ( 2==aix ) {
    fun( aix-1 );
    t=arg[0];
    arg[0]=arg[1];
    arg[1]=t;
    fun( aix-1 );
  }

  if ( 2<aix ) {
    p=( int* )malloc( sizeof( int )*aix );//臨時數組
    memcpy( p,arg,aix*sizeof( int ) );

    for ( i=0; i<aix; i++ ) {
      memcpy( arg,p,aix*sizeof( int ) );
      temp=arg[i];
      arg[i]=arg[aix-1];
      arg[aix-1]=temp;
      fun( aix-1 );
    }

    memcpy( arg,p,aix*sizeof( int ) );
    free( p );
  }
}