HDU 3473 Minimum Sum （劃分樹）

題意：給定一個數組，有Q次的詢問，每次詢問的格式爲(l,r)，表示求區間中一個數x，使得sum = sigma|x - xi|最小（i在[l,r]之間），輸出最小的sum。

思路：本題一定是要O（nlogn）或更低複雜度的算法。首先很容易得出這個x的值一定是區間（l，r）的中位數的取值，排序之後，也就是假設區間(l,r)長度爲len ，則中位數就是該區間的第（r - l） / 2 - 1小的元素，求一個區間的第K小元素的算法很自然地會想到劃分樹， 而且劃分樹的查詢複雜度爲：O(logn)，正好可以解決此題。

算法確定了之後就是具體的實現過程了，普通的劃分樹求的是區間內的第k小的元素，而這題是要求差值，也就是說我們不但要求出區間的第k小的元素，還要求出所有比中位數小的數 lsum，當然比中位數大的數的和可以根據區間的數的總和和lsum求得，因此不需要額外求。這樣我們只需要在劃分樹建樹的時候增加一個lsum[ ][i] 數組就可以了， 這個數組保存的是，在step層，在i前面被劃分到左子樹的元素之和。這樣我們就可以求出最後的解了。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include<functional>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <climits>//形如INT_MAX一類的
#define MAX 100005
#define INF 0x7FFFFFFF
#define L(x) x << 1
#define R(x) x << 1 | 1
using namespace std;

struct Seg_Tree {
    int l,r,mid;
} tr[MAX*4];
int sorted[MAX];
int lef[20][MAX];
int val[20][MAX];
__int64 lsum[20][MAX];
__int64 sum[MAX];
__int64 summ;

void build(int l,int r,int step,int x) {
    tr[x].l = l;
    tr[x].r = r;
    tr[x].mid = (l + r) >> 1;
    if(tr[x].l == tr[x].r) return ;
    int mid = tr[x].mid;
    int lsame = mid - l + 1;//lsame表示和val_mid相等且分到左邊的
    for(int i = l ; i <= r ; i ++) {
        if(val[step][i] < sorted[mid]) {
            lsame --;//先假設左邊的數(mid - l + 1)個都等於val_mid,然後把實際上小於val_mid的減去
        }
    }
    int lpos = l;
    int rpos = mid + 1;
    int same = 0;
    for(int i = l ; i <= r ; i ++) {
        if(i == l) {
            lef[step][i] = 0;//lef[i]表示[ tr[x].l , i ]區域裏有多少個數分到左邊
            lsum[step][i] = 0;
        } else {
            lef[step][i] = lef[step][i-1];
            lsum[step][i] = lsum[step][i-1];
        }
        if(val[step][i] < sorted[mid]) {
            lef[step][i] ++;
            lsum[step][i] += val[step][i];
            val[step + 1][lpos++] = val[step][i];
        } else if(val[step][i] > sorted[mid]) {
            val[step+1][rpos++] = val[step][i];
        } else {
            if(same < lsame) {//有lsame的數是分到左邊的
                same ++;
                lef[step][i] ++;
                lsum[step][i] += val[step][i];
                val[step+1][lpos++] = val[step][i];
            } else {
                val[step+1][rpos++] = val[step][i];
            }
        }
    }
    build(l,mid,step+1,L(x));
    build(mid+1,r,step+1,R(x));
}

int query(int l,int r,int k,int step,int x) {
    if(l == r) {
        return val[step][l];
    }
    int s;//s表示[l , r]有多少個分到左邊
    int ss;//ss表示 [tr[x].l , l-1 ]有多少個分到左邊
    __int64 tmp = 0;
    if(l == tr[x].l) {
        tmp = lsum[step][r];
        s = lef[step][r];
        ss = 0;
    } else {
        tmp = lsum[step][r] - lsum[step][l-1];
        s = lef[step][r] - lef[step][l-1];
        ss = lef[step][l-1];
    }
    if(s >= k) {//有多於k個分到左邊,顯然去左兒子區間找第k個
        int newl = tr[x].l + ss;
        int newr = tr[x].l + ss + s - 1;//計算出新的映射區間
        return query(newl,newr,k,step+1,L(x));
    } else {
        summ += tmp;
        int mid = tr[x].mid;
        int bb = l - tr[x].l - ss;//bb表示 [tr[x].l , l-1 ]有多少個分到右邊
        int b = r - l + 1 - s;//b表示 [l , r]有多少個分到右邊
        int newl = mid + bb + 1;
        int newr = mid + bb + b;
        return query(newl,newr,k-s,step+1,R(x));
    }
}

void solve(int l,int r) {
    l ++; r ++;
    summ = 0;
    int k = (r - l) / 2 + 1;
    __int64 mid = query(l,r,k,0,1);
    __int64 ans = (k - 1) * mid - summ;
    ans += sum[r] - sum[l-1] - summ - (r - l - k + 2) * mid;
    printf("%I64d\n",ans);
}

int n,m,l,r;
int main() {
    int T;
    cin >> T;
    int ca = 1;
    while(T--) {
        scanf("%d",&n);
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            scanf("%d",&val[0][i]);
            sorted[i] = val[0][i];
            sum[i] = sum[i-1] + val[0][i];
        }
        sort(sorted+1,sorted+1+n);
        build(1,n,0,1);
        scanf("%d",&m);
        printf("Case #%d:\n",ca++);
        for(int i=0; i<m; i++) {
            scanf("%d%d",&l,&r);
            solve(l,r);
        }
        puts("");
    }
}