日前在書上看到一段使用多項式逼近計算平方根的代碼，至今都沒搞明白作者是怎樣推算出那個公式的。但在嘗試解決問題的過程中，學到了不少東西，於是便有了這篇心得，寫出來和大家共享。其中有錯漏的地方，還請大家多多指教。
的確，正如許多人所說的那樣，現在有有FPU，有3DNow，有SIMD，討論軟件算法好像不合時宜。關於sqrt的話題其實早在2003年便已在 GameDev.net上得到了廣泛的討論（可見我實在非常火星了，當然不排除還有其他尚在冥王星的人，嘿嘿）。而嘗試探究該話題則完全是出於本人的興 趣和好奇心（換句話說就是無知）。
我只是個beginner，所以這種大是大非的問題我也說不清楚（在GameDev.net上也有很多類 似的爭論）。但無論如何，Carmack在DOOM3中還是使用了軟件算法，而多知道一點數學知識對3D編程來說也只有好處沒壞處。3D圖形編程其實就是 數學，數學，還是數學。
在3D圖形編程中，經常要求平方根或平方根的倒數，例如：求向量的長度或將向量歸一化。C數學函數庫中的sqrt具有理想的精度，但對於3D遊戲程式來說速度太慢。我們希望能夠在保證足夠的精度的同時，進一步提高速度。
Carmack在QUAKE3中使用了下面的算法，它第一次在公衆場合出現的時候，幾乎震住了所有的人。據說該算法其實並不是Carmack發明的，它真正的作者是Nvidia的Gary Tarolli（未經證實）。
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//
// 計算參數x的平方根的倒數
//
float InvSqrt (float x)
{
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x;
i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 計算第一個近似根
x = *(float*)&i;
x = x*(1.5f - xhalf*x*x); // 牛頓迭代法
return x;
}
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該 算法的本質其實就是牛頓迭代法（Newton-Raphson Method，簡稱NR），而NR的基礎則是泰勒級數（Taylor Series）。 NR是一種求方程的近似根的方法。首先要估計一個與方程的根比較靠近的數值，然後根據公式推算下一個更加近似的數值，不斷重複直到可以獲得滿意的精度。其 公式如下：
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函數：y=f(x)
其一階導數爲：y'=f'(x)
則方程：f(x)=0 的第n+1個近似根爲
x[n+1] = x[n] - f(x[n]) / f'(x[n])
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NR最關鍵的地方在於估計第一個近似根。如果該近似根與真根足夠靠近的話，那麼只需要少數幾次迭代，就可以得到滿意的解。
現在回過頭來看看如何利用牛頓法來解決我們的問題。求平方根的倒數，實際就是求方程1/(x^2)-a=0的解。將該方程按牛頓迭代法的公式展開爲：
x[n+1]=1/2*x[n]*(3-a*x[n]*x[n])
將1/2放到括號裏面，就得到了上面那個函數的倒數第二行。
接着，我們要設法估計第一個近似根。這也是上面的函數最神奇的地方。它通過某種方法算出了一個與真根非常接近的近似根，因此它只需要使用一次迭代過程就獲得了較滿意的解。它是怎樣做到的呢？所有的奧妙就在於這一行：
i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 計算第一個近似根
超級莫名其妙的語句，不是嗎？但仔細想一下的話，還是可以理解的。我們知道，IEEE標準下，float類型的數據在32位系統上是這樣表示的（大體來說就是這樣，但省略了很多細節，有興趣可以GOOGLE）：
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bits：31 30 ... 0
31：符號位
30-23：共8位，保存指數（E）
22-0：共23位，保存尾數（M）
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所 以，32位的浮點數用十進制實數表示就是：M*2^E。開根然後倒數就是：M^(-1/2)*2^(-E/2)。現在就十分清晰了。語句i>
>1其工作就是將指數除以2，實現2^(E/2)的部分。而前面用一個常數減去它，目的就是得到M^(1/2)同時反轉所有指數的符號。
至於那個0x5f3759df，呃，我只能說，的確是一個超級的Magic Number。
那 個Magic Number是可以推導出來的，但我並不打算在這裏討論，因爲實在太繁瑣了。簡單來說，其原理如下：因爲IEEE的浮點數中，尾數M省略了 最前面的1，所以實際的尾數是1+M。如果你在大學上數學課沒有打瞌睡的話，那麼當你看到(1+M)^(-1/2)這樣的形式時，應該會馬上聯想的到它的 泰勒級數展開，而該展開式的第一項就是常數。下面給出簡單的推導過程：
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對於實數R>0，假設其在IEEE的浮點表示中，
指數爲E，尾數爲M，則：
R^(-1/2)
= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)
將(1+M)^(-1/2)按泰勒級數展開，取第一項，得：
原式
= (1-M/2) * 2^(-E/2)
= 2^(-E/2) - (M/2) * 2^(-E/2)
如果不考慮指數的符號的話，
(M/2)*2^(E/2)正是(R>>1)，
而在IEEE表示中，指數的符號只需簡單地加上一個偏移即可，
而式子的前半部分剛好是個常數，所以原式可以轉化爲：
原式 = C - (M/2)*2^(E/2) = C - (R>>1)，其中C爲常數
所以只需要解方程：
R^(-1/2)
= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)
= C - (R>>1)
求出令到相對誤差最小的C值就可以了
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上面的推導過程只是我個人的理解，並未得到證實。而Chris Lomont則在他的論文中詳細討論了最後那個方程的解法，並嘗試在實際的機器上尋找最佳的常數C。有興趣的朋友可以在文末找到他的論文的鏈接。
所以，所謂的Magic Number，並不是從N元宇宙的某個星系由於時空扭曲而掉到地球上的，而是幾百年前就有的數學理論。只要熟悉NR和泰勒級數，你我同樣有能力作出類似的優化。
在GameDev.net 上有人做過測試，該函數的相對誤差約爲0.177585%，速度比C標準庫的sqrt提高超過20%。如果增加一次迭代過程，相對誤差可以降低到e- 004 的級數，但速度也會降到和sqrt差不多。據說在DOOM3中，Carmack通過查找表進一步優化了該算法，精度近乎完美，而且速度也比原版提 高了一截（正在努力弄源碼，誰有發我一份）。
值得注意的是，在Chris Lomont的演算中，理論上最優秀的常數（精度最高）是 0x5f37642f，並且在實際測試中，如果只使用一次迭代的話，其效果也是最好的。但奇怪的是，經過兩次NR後，在該常數下解的精度將降低得非常厲害 （天知道是怎麼回事！）。經過實際的測試，Chris Lomont認爲，最優秀的常數是0x5f375a86。如果換成64位的double版本的話， 算法還是一樣的，而最優常數則爲0x5fe6ec85e7de30da（又一個令人冒汗的Magic Number - -b）。
這個算法依賴於浮點數的內部表示和字節順序，所以是不具移植性的。如果放到Mac上跑就會掛掉。如果想具備可移植性，還是乖乖用sqrt好了。但算法思想是通用的。大家可以嘗試推算一下相應的平方根算法。
下面給出Carmack在QUAKE3中使用的平方根算法。Carmack已經將QUAKE3的所有源代碼捐給開源了，所以大家可以放心使用，不用擔心會受到律師信。
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// Carmack在QUAKE3中使用的計算平方根的函數 //
//
float CarmSqrt(float x){
union{
int intPart;
float floatPart;
} convertor;
union{
int intPart;
float floatPart;
} convertor2;
convertor.floatPart = x;
convertor2.floatPart = x;
convertor.intPart = 0x1FBCF800 + (convertor.intPart >> 1);
convertor2.intPart = 0x5f3759df - (convertor2.intPart >> 1);
return 0.5f*(convertor.floatPart + (x * convertor2.floatPart));
}
btw:
其實源碼是這一段,不是上面的,儘管查不多，呵呵
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? 老外也看不懂 ：）
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed ,
//對於遊戲上面這句可以屏蔽，不需要那麼高的精度，反倒是速度要緊
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
return y;
}
同樣對於 double 這個魔法數是0x5fe6ec85e7de30da ,如果在單片機環境可以試試可以使用如下代碼
double InvSqrt(double number)
{
__int64 i;
double x2, y;
const double threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( __int64 * ) &y;
i = 0x5fe6ec85e7de30da - ( i >> 1 );
y = * ( double * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
return y;
}