hash table

hash tables

如圖所示，使用一個hash function將原來的key映射到hash表中。碰撞發生在不同的key映射到了同一個位置。

hash function

division method

h(k)=kmodm

multiplication method

Universal hashing

選擇一組hash函數，這個組合稱爲 universal 如果對於每個hash函數來說，它碰撞的概率小於 |h|/m 也就是說，整體的碰撞的概率小於1/m，m是hash後的空間集合的元素個數。

In universal hashing, at the beginning of execution we select the hash function at random from a carefully designed class of functions.
在universal hashing中，從一組精神設計的hash function中選擇。

Theorem
假設從一組hash函數的universal collection隨機挑選了一個hash函數h ，並且hash n keys into a table T of size m。如果k不在table中，那麼 E[nh(k)] 最大是 α=n/m ，如果k在table中，那麼是 1+α 。

這個結果是不依賴於hash函數的選擇的，也就是說，當碰撞的時候採取chaining的方法，那麼當hash一個k到表中時，當它不在表中，它在的slot的 長度的平均值 是 n／m，如果k在表中是 1 + n／m（就是1 + 不在的平均長度）

it has now become impossible for an adversary to pick a sequence of operations that forces the worst-case running time. By cleverly randomizing the choice of hash function at run time, we guarantee that we can process every sequence of operations with a good average-case running time.