Banach 空間，由一組線性完備基函數撐起（span)的空間, 各個基線性獨立。線性獨立的基向量個數，即該空間的緯度，亦即該空間內任一點（廣義上講，Banach空間裏一個點對應一個函數）可由這一組基完全描述；
Hilbert空間，上述各個線性獨立的基向量相互正交，正交通過內積定義。故Hilbert空間也被稱爲內積空間。
注意，線性獨立不同於正交。 正交是更緊緻的約束。數學上有個過程叫“施密特正交化“，可以理解。線性獨立，在高緯空間內，仍然會呈現相關性，即各個基函數（基向量）越靠越近，這樣基函數的性質也就越來越差；而正交化的效果，就能維持基函數的代表性。
Sobolev空間，定義了distributional derivative（函數積分再求導）有界的一類Banach空間。
有限元方法，即求能量範函的極值。因爲能量範函的二次性和正定性，保證取最小值。同時，由於物理系統的能量有界性，我們可以將能量範函定義在2-範數的Sobolev空間。進一步，縮小範圍，我們定義2－範數的內積空間，這樣構造的行函數不僅2-範數有界，而且正交，此即常見的有限元近似方法。
從範函上講，有限元近似源自Ritz方法，Ritz方法構造了2-範數Sobolev空間的基；在全域構造正交化的Ritz基函數即譜－有限元方法。另外一個思路，是在單元內構造正交基函數，即當下的有限元法。Garlekin 方法是將試探函數，行函數都定義在同一個2-範數內積空間裏。
ps, 現在工程研究的幾大熱點：opt, stochastic, numerical pde, 都可以來自範函。opt的一個基本觀點就是範函的 projection theorem， 該原理指出最小誤差（最優解）即精確解在近似解空間最大投影。另外，stochastic問題不過是結合了隨機變量描述的pde。