[2009國家集訓隊]小Z的襪子--莫隊算法

Description

作爲一個生活散漫的人，小Z每天早上都要耗費很久從一堆五顏六色的襪子中找出一雙來穿。終於有一天，小Z再也無法忍受這惱人的找襪子過程，於是他決定聽天由命……
具體來說，小Z把這N只襪子從1到N編號，然後從編號L到R(L 儘管小Z並不在意兩隻襪子是不是完整的一雙，甚至不在意兩隻襪子是否一左一右，他卻很在意襪子的顏色，畢竟穿兩隻不同色的襪子會很尷尬。
你的任務便是告訴小Z，他有多大的概率抽到兩隻顏色相同的襪子。當然，小Z希望這個概率儘量高，所以他可能會詢問多個(L,R)以方便自己選擇。

Input

輸入文件第一行包含兩個正整數N和M。N爲襪子的數量，M爲小Z所提的詢問的數量。接下來一行包含N個正整數Ci，其中Ci表示第i只襪子的顏色，相同的顏色用相同的數字表示。再接下來M行，每行兩個正整數L，R表示一個詢問。

Output

包含M行，對於每個詢問在一行中輸出分數A/B表示從該詢問的區間[L,R]中隨機抽出兩隻襪子顏色相同的概率。若該概率爲0則輸出0/1，否則輸出的A/B必須爲最簡分數。（詳見樣例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【樣例解釋】
詢問1：共C(5,2)=10種可能，其中抽出兩個2有1種可能，抽出兩個3有3種可能，概率爲(1+3)/10=4/10=2/5。
詢問2：共C(3,2)=3種可能，無法抽到顏色相同的襪子，概率爲0/3=0/1。
詢問3：共C(3,2)=3種可能，均爲抽出兩個3，概率爲3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示組合數，組合數C(a, b)等價於在a個不同的物品中選取b個的選取方案數。
【數據規模和約定】
30%的數據中 N,M ≤ 5000；
60%的數據中 N,M ≤ 25000；
100%的數據中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

思路:先建曼哈頓最小生成樹，然後DFS，注意回溯部分。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 400005
#define LL long long int
LL Ans1[maxn],Ans2[maxn];
int Cnt[maxn],key[maxn],S[maxn],T[maxn],nxt[maxn],vis[maxn],vv[maxn],first[maxn];
int lowbit(int x)
{
	return x & (-x);
}
struct Point
{
	int x,y,id;
	bool operator < (const Point p)const
	{
		return x != p.x ? x<p.x:y<p.y;
	}
}p[maxn];
struct BIT
{
	int min_val,pos;
	void init()
	{
		min_val = (1<<30);
		pos = -1;
	}
}bit[maxn];
struct Edge
{
	int u,v,d;
	bool operator < (const Edge e)const
	{
		return d < e.d;
	}
}e[maxn<<2];
int tot,cnt,father[maxn];
int find(int x)
{
	if(father[x] == x)	return x;
	return father[x] = find(father[x]);
}
int dist(int i,int j)
{
	return abs(p[i].x - p[j].x) + abs(p[i].y - p[j].y);
}

void addedge(int u,int v,int d)
{
	e[tot].u = u;
	e[tot].v = v;
	e[tot++].d = d;
}

void AddEdge(int u,int v)
{
	vv[cnt] = v;	nxt[cnt] = first[u];	first[u] = cnt++;
	vv[cnt] = u;	nxt[cnt] = first[v];	first[v] = cnt++;
}
void update(int x,int val,int pos)
{
	for(int i = x;i >= 1;i -= lowbit(i))
	{
		if(val < bit[i].min_val)
			bit[i].min_val = val,bit[i].pos = pos;
	}
}

int ask(int x,int m)
{
	int min_val = (1<<30),pos = -1;
	for(int i = x;i <= m;i += lowbit(i))
	{
		if(bit[i].min_val < min_val)
			min_val = bit[i].min_val,pos = bit[i].pos;
	}
	return pos;
}

void dfs(int u,int fa)
{
	for(int i = first[u];i != -1;i = nxt[i])
	{
		int v = vv[i];
		int l1 = S[u],r1 = T[u];
		int l2 = S[v],r2 = T[v];
		if(vis[v])	continue;
		vis[v] = 1;
		LL fenzi = Ans1[u];
		if(l1 > l2)
		{
			for(int j = l2;j < l1;j++)
			{
				Cnt[key[j]]++;
				if(Cnt[key[j]] >= 2)	fenzi += Cnt[key[j]]-1;
			}
		}
		else if(l1 < l2)
		{
			for(int j = l1;j < l2;j++)
			{
				Cnt[key[j]]--;
				if(Cnt[key[j]] >= 1)	fenzi -= Cnt[key[j]];
			}
		}
		if(r1 > r2)
		{
			for(int j = r2+1;j <= r1;j++)
			{
				Cnt[key[j]]--;
				if(Cnt[key[j]] >= 1)	fenzi -= Cnt[key[j]];
			}
		}
		else if(r1 < r2)
		{
			for(int j = r1+1;j <= r2;j++)
			{
				Cnt[key[j]]++;
				if(Cnt[key[j]] >= 2)	fenzi += Cnt[key[j]]-1;
			}
		}
		Ans1[v] = fenzi;	Ans2[v] = ((LL)(r2-l2+1))*(r2-l2)/2;
		dfs(v,u);
		if(l1 > l2)
		{
			for(int j = l2;j < l1;j++)
				Cnt[key[j]]--;
		}
		else if(l1 < l2)
		{
			for(int j = l1;j < l2;j++)
			{
				Cnt[key[j]]++;
			}
		}
		if(r1 > r2)
		{
			for(int j = r2+1;j <= r1;j++)
			{
				Cnt[key[j]]++;
			}
		}
		else if(r1 < r2)
		{
			for(int j = r1+1;j <= r2;j++)
			{
				Cnt[key[j]]--;
			}
		}
	}
}
int a[maxn],b[maxn];
void Manhattan_minmum_spanning_tree(int n,Point *p)
{	
	for(int dir = 0;dir < 4;dir++)
	{
		if(dir == 1 || dir == 3)
		{
			for(int i = 0;i < n;i++)
				swap(p[i].x,p[i].y);
		}
		else if(dir == 2)
		{
			for(int i = 0;i < n;i++)
				p[i].x = -p[i].x;
		}
	
		sort(p,p+n);
		for(int i = 0;i < n;i++)
		{
			a[i] = b[i] = p[i].y - p[i].x;
		}
		sort(b,b+n);
		int m = unique(b,b+n)-b;
		for(int i = 1;i <= m;i++)
			bit[i].init();
		for(int i = n-1;i >= 0;i--)
		{
			int pos = lower_bound(b,b+m,a[i])-b+1;
			int ans = ask(pos,m);
			if(ans != -1)
			{
				//AddEdge(p[i].id,p[ans].id);
				addedge(p[i].id,p[ans].id,dist(i,ans));
			}
			update(pos,p[i].x+p[i].y,i);
		}
	}
	sort(e,e+tot);
	for(int i = 0;i < n;i++)
		father[i] = i;
	for(int i = 0;i < tot;i++)
	{
		int u = e[i].u,v = e[i].v;
		int fa = find(u),fb = find(v);
		if(fa != fb)
		{
			father[fa] = fb;
			AddEdge(u,v);
		}
	}
	int l = S[0],r = T[0];
	LL fenzi = 0,fenmu = 0;
	for(int i = l;i <= r;i++)
	{
		Cnt[key[i]]++;
		if(Cnt[key[i]]>=2)	fenzi += Cnt[key[i]]-1;
	}
	fenmu = ((LL)(r-l+1))*(r-l)/2;
	Ans1[0] = fenzi,Ans2[0] = fenmu;
	vis[0] = 1;
	dfs(0,-1);
}

LL gcd(LL a,LL b)
{
	if(!b)	return a;
	return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	int n,m;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)==2 && n)
	{
		memset(Cnt,0,sizeof(Cnt));
		memset(first,-1,sizeof(first));
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		for(int i = 0;i < n;i++)	scanf("%d",&key[i]);
		tot = cnt = 0;
		for(int i = 0;i < m;i++)
		{
			scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
			p[i].id = i;
			p[i].x--;	p[i].y--;
			S[i] = p[i].x;
			T[i] = p[i].y;
		}
		Manhattan_minmum_spanning_tree(m,p);
		for(int i = 0;i < m;i++)
		{
			if(Ans1[i] == 0)
			{
				printf("0/1\n");
			}
			else 
			{
				LL c = gcd(Ans1[i],Ans2[i]);
				Ans1[i] /= c;	Ans2[i] /= c;
				printf("%lld",Ans1[i]);
				cout << "/";
				printf("%lld\n",Ans2[i]);
			}
		}
	}
	return 0;
}