問一個基本的問題。
負數在計算機中如何表示？
舉例來說，+8在計算機中表示爲二進制的1000，那麼-8怎麼表示呢？
很容易想到，可以將一個二進制位（bit）專門規定爲符號位，它等於0時就表示正數，等於1時就表示負數。比如，在8位機中，規定每個字節的最高位爲符號位。那麼，+8就是00001000，而-8則是10001000。
但是，隨便找一本《計算機原理》，都會告訴你，實際上，計算機內部採用2的補碼（Two’s Complement）表示負數。
什麼是2的補碼？
它是一種數值的轉換方法，要分二步完成：
第一步，每一個二進制位都取相反值，0變成1，1變成0。比如，00001000的相反值就是11110111。
第二步，將上一步得到的值加1。11110111就變成11111000。
所以，00001000的2的補碼就是11111000。也就是說，-8在計算機（8位機）中就是用11111000表示。
不知道你怎麼看，反正我覺得很奇怪，爲什麼要採用這麼麻煩的方式表示負數，更直覺的方式難道不好嗎？
昨天，我在一本書裏又看到了這個問題，然後就花了一點時間到網上找資料，現在總算徹底搞明白了。
2的補碼的好處
首先，要明確一點。計算機內部用什麼方式表示負數，其實是無所謂的。只要能夠保持一一對應的關係，就可以用任意方式表示負數。所以，既然可以任意選擇，那麼理應選擇一種最方便的方式。
2的補碼就是最方便的方式。它的便利體現在，所有的加法運算可以使用同一種電路完成
還是以-8作爲例子。
假定有兩種表示方法。一種是直覺表示法，即10001000；另一種是2的補碼錶示法，即11111000。請問哪一種表示法在加法運算中更方便？
隨便寫一個計算式，16 + (-8) = ?
16的二進制表示是 00010000，所以用直覺表示法，加法就要寫成：
０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
１００１１０００
可以看到，如果按照正常的加法規則，就會得到10011000的結果，轉成十進制就是-24。顯然，這是錯誤的答案。也就是說，在這種情況下，正常的加法規則不適用於正數與負數的加法，因此必須制定兩套運算規則，一套用於正數加正數，還有一套用於正數加負數。從電路上說，就是必須爲加法運算做兩種電路。
現在，再來看2的補碼錶示法。
０００１００００
＋ １１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００
可以看到，按照正常的加法規則，得到的結果是100001000。注意，這是一個9位的二進制數。我們已經假定這是一臺8位機，因此最高的第9位是一個溢出位，會被自動捨去。所以，結果就變成了00001000，轉成十進制正好是8，也就是16 + (-8) 的正確答案。這說明了，2的補碼錶示法可以將加法運算規則，擴展到整個整數集，從而用一套電路就可以實現全部整數的加法。
2的補碼的本質
在回答2的補碼爲什麼能正確實現加法運算之前，我們先看看它的本質，也就是那兩個步驟的轉換方法是怎麼來的。
要將正數轉成對應的負數，其實只要用0減去這個數就可以了。比如，-8其實就是0-8。
已知8的二進制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：
００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
因爲00000000（被減數）小於0000100（減數），所以不夠減。請回憶一下小學算術，如果被減數的某一位小於減數，我們怎麼辦？很簡單，問上一位借1就可以了。
所以，0000000也問上一位借了1，也就是說，被減數其實是100000000，算式也就改寫成：
１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１１０００
進一步觀察，可以發現100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成兩個：
１１１１１１１１
－ ００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１０１１１
＋ ０００００００１
－－－－－－－－－
１１１１１０００
2的補碼的兩個轉換步驟就是這麼來的。
爲什麼正數加法適用於2的補碼？
實際上，我們要證明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的補碼完成。
Y的2的補碼等於(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的補碼，就等於：
X + (11111111-Y) + 1
我們假定這個算式的結果等於Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1
接下來，分成兩種情況討論。
第一種情況：如果X小於Y，那麼Z是一個負數。這時，我們就對Z採用2的補碼的逆運算，求出它對應的正數絕對值，再在前面加上負號就行了。所以，
Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y
第二種情況：如果X大於Y，這意味着Z肯定大於11111111，但是我們規定了這是8位機，最高的第9位是溢出位，必須被捨去，這相當於減去100000000。所以，
Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y
這就證明了，在正常的加法規則下，可以利用2的補碼得到正數與負數相加的正確結果。換言之，計算機只要部署加法電路和補碼電路，就可以完成所有整數的加法。
（完）
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