C++——快速冪&二進制

說實話，本來是不想學這個的，總覺得學了十幾年十進制，非要用二進制可變扭了。但是，這個好像是必須得過去的坎，總沒道理總是拖着……

然後在進入正題之前，先說一個輕鬆的話題：

昨天，上c++實驗課的時候，有一個學ACM的學長來蹭課，老師檢查作業的時候看到學長寫了一個：

#define LL long long

然後，老師就問這是什麼，學長說，因爲懶，所以……blabla

然後老師又問long long是什麼……

……

學長很耐心得跟老師解釋

(╯‵□′)╯︵┻━┻我在旁邊都聽不下去了

好了，進入正題：

先談談二進制

先看看百度百科怎麼說

二進制是計算技術中廣泛採用的一種數制。二進制數據是用0和1兩個數碼來表示的數。它的基數爲2，進位規則是“逢二進一”，借位規則是“借一當二”，由18世紀德國數理哲學大師萊布尼茲發現。當前的計算機系統使用的基本上是二進制系統，數據在計算機中主要是以補碼的形式存儲的。計算機中的二進制則是一個非常微小的開關，用“開”來表示1，“關”來表示0。

定義什麼的都不重要，主要是二進制和十進制的轉換//這個考試是會考的……

二進制轉十進制（整數）

先舉個栗子：

二進制的101如果轉化爲十進制是多少呢？

首先，要確立一個思想，也就是在計算機中，大部分都是從0開始計數→所以想知道（101）2是多少，就從右邊第一項開始標號：0，1，2；接着就是計算了（101）2=1*2^2+0*2^1+1*2^0=5（相同顏色代表其相關）

好吧，我不得不承認百度寫的還是不錯的，就截圖放上來吧

二進制轉十進制（小數）

（見截圖↑）

十進制轉二進制

若爲整數就是不停地除以二然後取餘，若爲小數就是乘以二再取整

接下來談一談有關運算

--------------------以下內容來自B站某UP主上傳的視頻-------------------

---------------------------------------以上----------------------------------------

個人認爲這個視頻已經講的很清楚了（但是時間久遠，我也不記得是哪個了，現在只有PPT還留着//其實是截圖……）

好了，做了這麼長的鋪墊

現在，我們來談談快速冪的問題

說到冪函數，當然會聯想到cmath頭文件下的函數pow(底數，指數），但是如果自己寫函數呢？

我想大多數人會跟我一樣這麼寫：

#include <iostream>
using namespace std;

int power(int a,int b)
{
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=b;i++)
    {
        ans*=a;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int a,b;
    int num;
    while(cin>>a>>b)
    {
        num=power(a,b);
        cout<<num<<'\n';
    }
    return 0;
}

這麼寫當然沒有問題，唯一的問題就是——時間複雜度（動不動就TLE還是很絕望的），這樣寫，時間複雜度大約能達到O(n)，雖然看起來也沒多大，但是使用快速冪可以把時間複雜度降到O(log₂N)。

核心代碼如下：

int power(int a,int b)
{
    int r=1,base=a;
    while(b!=0)
    {
        if(b%2) r*=base;
        base*=base;
        b/=2;
    }
    return r;
}

順便引用快速冪講解
代碼很短，死記也可行，但最好還是理解一下吧，其實也很好理解，以b==11爲例，b=>1011,二進制從右向左算，但乘出來的順序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是從左向右的。我們不斷的讓base*=base目的即是累乘，以便隨時對ans做出貢獻。

　　其中要理解base*=base這一步：因爲 base*base==base²，下一步再乘，就是base²*base²==base⁴，然後同理  base⁴*base⁴=base⁸，由此可以做到base-->base²-->base⁴-->base⁸-->base¹⁶-->base³².......指數正是 2^i ，再看上面的例子，a¹¹= a¹*a²*a⁸，這三項就可以完美解決了，快速冪就是這樣。

　　順便囉嗦一句，由於指數函數是爆炸增長的函數，所以很有可能會爆掉int的範圍，根據題意選擇 long long還是mod某個數自己看着辦。