csu 1950: 談笑風生 卡特蘭數

題目鏈接點這裏

基佬出的毒瘤題啊。。。

看完題目我們很容易把第x個左括號和其右括號內的看成獨立一部分設爲Q，枚舉這個裏面的括號數。這裏很簡單，，

然後那？，，然後還剩下Q左右的2部分。。接下來該怎麼考慮？。。一開始我是把2部分放在一起考慮的，結果非常複雜，考慮的東西非常多

其實那，我們只需要單獨考慮2部份就可以了。

我們需要知道一個公式：C​m​​(i,j)=C(i+j,j)−C(i+j,j−m),其中C_m(n,k)C​m​​(i,j)表示一個序列中有i個X和j個Y，滿足對於這個序列的任何前綴,Y出現的次數-X的出現的次數< m的方案數。

我們可以看到當m等於1時就是合法括號序列前綴的方案數。

這個公式怎麼來的那？

其實這個公式可以轉化爲：從（0,0）點走到（i,j）點（每一步只能往上和往右），路徑不接觸y=x+m這條直線的方案數。

這個方案數=全部的方案數（C（i+j,j））-不合法的方案數。

如何計算不合法路徑有個ppt上講的很清楚，，我盜個圖。。

他是計算(1,0)到(n,n-1)的不接觸y=x的路徑數。

所以我們可以得到，不合法的方案數就是C(i+j,j-1)。

就是這個題的公式了。。

然後我們就枚舉左部分有多少右括號（左括號固定爲x-1個），

最後:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<unordered_map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<string.h>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFLL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define FIN freopen("input.txt","r",stdin)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
typedef unsigned long long ULL;
typedef long long LL;
#define fuck(x) cout<<"q"<<endl;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
typedef pair<pair<int,int>,int> PIII;
typedef pair<int,int> PII;
const double eps=1e-8;
const int MX=1111;
const int P=1e9+7;
int n,x,y;
int Cat[MX],C[MX][MX];
int F[MX],invF[MX];
int inv[MX]= {0,1};
int quick_power(int a,int x)
{
    int ans=1;
    while(x)
    {
        if(x&1)ans=(LL)a*ans%P;
        a=(LL)a*a%P;
        x>>=1;
    }
    return ans;
}
void init()
{

    for(int i=2; i<MX; ++i)inv[i]=(LL)inv[P%i]*(P-P/i)%P;
    Cat[1]=1;
    for(int i=2; i<MX; i++) Cat[i]=(LL)(4*i-2)*Cat[i-1]%P*inv[i+1]%P;
    F[0] = 1;
    for(int i = 1; i < MX; i++)  F[i] = ((LL)F[i - 1] * i) % P;
    invF[MX - 1] = quick_power(F[MX - 1],P - 2);
    for(int i = MX - 2; i >= 0; i--)  invF[i] = (LL)invF[i + 1] * (i + 1) % P;
    for(int i=0; i<505; i++)
        for(int j=0; j<505; j++)
            C[i][j]=((LL)F[i+j]*invF[j]%P*invF[i]%P-(LL)F[i+j]*invF[j-1]%P*invF[i+1]%P+P)%P;
}
int main()
{
    init();
    //cout<<C[1][1]<<" "<<C[2][1]<<" "<<C[3][1]<<endl;
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>x>>y;
        int ans=0;
        for(int i=y-x; i<=n-x; i++)
        {
            int t=0;
            for(int j=0; j<=x-1; j++) t=(t+(LL)C[x-1][j]*C[n-j-i-1][n-x-i]%P)%P;
            //cout<<Cat[i]<<endl;
            t=(LL)t*Cat[i]%P;
            ans=(ans+t)%P;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}