最小生成樹的兩種算法：Prim和Kruskal算法

越來越明白了一個道理：你寫不出代碼的原因只有一個，那就是你沒有徹底理解這個算法的思想！！

以前寫過最小生成樹，但是，水了幾道題後，過了一段時間，就會忘卻，一點也寫不出來了。也許原因只有一個，那就是我沒有徹底理解這兩種算法。

主題：

其實，求最小生成樹有兩個要點，一個是權值最小，還有一個就是這個圖必須是樹。而Prim和Kruskal的不同之處在於兩者選擇的變量不同，Prim選擇的是始終保持權值最小，然後逐個加點構建一棵樹。而Kruskal則是始終保證是一棵樹（雖然構建過程中不一定是真正的樹，但並查集判環可以這樣理解：是爲了保證結果是一顆樹），然後逐條加邊，使權值最小。

知道上述兩種思想後，來談談代碼的（都是基於貪心）實現：

Prim：（這裏把權值理解成距離）假設，已經確定的點的集合爲S，那麼還未確定的點可以記爲1-S，我們每次從還未確定的點集合1-S中，選擇一個裏離集合S中的點直接相連，且權值最小（貪心）的點加入S中，不妨被這個點爲t，則S與1-S將發生變化：由於t變成了S中的點，那麼1-S中與t相連的點的距離實際上變成了該點與S的距離。由於初始化時，已經有一個點已經標誌，那麼只需要循環N-1次就夠了，而且只能是N-1次，否則可能會發生錯誤（視INF而定），這就是Prim算法。

Kruskal：這個算法相對於Prim來說就比較好理解多了，每次選擇權值最小的（貪心）的邊，然後看看該邊的兩個點是否與樹矛盾（用並查集判斷就行了），在加邊的過程中記錄有效點的數目，達到N個就結束，不用把每條邊都考慮進去。

附上 ：HDU 1233    還是暢通工程兩種算法的代碼，幫助理解：

Prime：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define INF 0x7fffffff

using namespace std;

int Map[110][110],dis[110],vis[110];
int N,M;

void prime(){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=N;i++) dis[i]=Map[1][i];//權值可以理解成距離，似乎更好理解
    int sum=0;vis[1]=1;//初始1爲開始的點，可以任意點
    for(int p=1;p<=N-1;p++){//進行N-1次循環，加入剩下的N-1個點
        int t,Min=INF;
        for(int i=1;i<=N;i++) if(!vis[i] && dis[i]<Min)//尋早集合1-S中到集合S最近的點t
            Min=dis[i],t=i;
        sum+=Min;vis[t]=1;
        for(int i=1;i<=N;i++) if(!vis[i] && dis[i]>Map[t][i])//更新與t相連且在1-S中的點到集合S的距離
            dis[i]=Map[t][i];
    }
    cout<<sum<<endl;
}


int main(){
    //freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    while(cin>>N && N){
        for(int i=0;i<=N;i++) for(int j=0;j<=N;j++) Map[i][j]=INF;
        M=(N-1)*N/2;
        int a,b,c;
        for(int i=0;i<M;i++){
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            Map[a][b]=Map[b][a]=c;
        }
        prime();
    }
    return 0;
}

Kruskal：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;
struct edge{
    int u,v,w;
    bool operator<(const edge &a)const{
        return w<a.w;
    }
}E[10010];

int N,M;
int pre[110];

int find(int x){
    int t=x;
    while(pre[t]!=t) t=pre[t];
    while(x!=t) {int px=pre[x]; pre[x]=t,x=px; }
    return t;
}

void Kruskal(){
    for(int i=0;i<=N;i++) pre[i]=i;//初始話並查集
    int cnt=1,ans=0;
    for(int i=0;i<M;i++){
        int u=E[i].u,v=E[i].v,w=E[i].w;
        int fu=find(u),fv=find(v);
        if(fu==fv) continue;//並查集判斷是否滿足樹的性質
        ans+=w;
        pre[fv]=fu;cnt++;
        if(cnt==N) break;//已經滿樹
    }
    cout<<ans<<endl;
}


int main(){
    //freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    while(cin>>N && N){
        M=N*(N-1)/2;
        for(int i=0;i<M;i++){
            scanf("%d %d %d",&E[i].u,&E[i].v,&E[i].w);
        }
        sort(E,E+M);//把邊排序
        Kruskal();
    }
    return 0;
}