GCD Path CH Round #53 -【Nescafé 32】杯NOIP模擬賽
描述
給定一張N個點的有向圖，點i到點j有一條長度爲 i/(gcd(i,j))的邊。有Q個詢問，每個詢問包含兩個數x和y，求x到y的最短距離。
輸入格式
第一行包含兩個用空格隔開的整數，N和Q。
接下來Q行，每行兩個數x和y。
輸出格式
輸出Q行整數，表示從x到y的最短距離。
樣例輸入
6 2 4 6 2 5
樣例輸出
2 2
數據範圍與約定
- 對於30%的數據，1<=N<=100。
- 對於70%的數據，1<=N<=10^5。
- 對於100%的數據，1<=N<=10^7，1<=x,y<=N，Q<=10^5。
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這道題剛開始看用Floyd寫了一遍，可是隻過30……然後看別人的題解，發現原來用數學的知識…
假設求x->y的最短路，則直接走 這條路 長度爲x/gcd（x，y）設這個長度的質因數分解爲a1*a2*a3*a4……(兩項可以相等）
然後要用到一個結論：
若a>=2,b>=2,則a+b<=a*b
移項就是 （1-a）*（1-b）>=1 這是顯然的。
所以我們不妨把這個長度分開來走，
因爲每拆一項都會使答案減小或不邊，那我們不妨直接將該數全部分解爲質數，一個一個質數來走。
舉個例子
100-1，則100/gcd（100，1）的質因數分解爲2*2*5*5
我們不妨使每次走的長度爲2 2 5 5，而2+2+5+5=14<100 這樣使長度之和達到最小。
所以我們可以這樣走 100->50->25->5->1->1
所以就有了下面的代碼……可是發現會有錯誤答案……
經過仔細的研究我發現有一種情況：自己到自己……按題目的要求應該是1，可是很明顯答案是0……
然後我又加了一行if，最後過了……
哎……題目有歧義啊！！
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,q,x,y;
int is_prime(int x)
{
for(int i=2;i<=(int)sqrt(x);i++)
if (x%i==0)return 0;
return 1;
}
int pr(int x)
{
int sum=0;
if (is_prime(x))return x;
int a=2;
while(a*a<=x)
{
while(x%a==0)
{
sum+=a;
x=x/a;
}
a++;
}
if(x>1)sum+=x;
return sum;
}
int i_gcd(int x,int y)
{
int ii=x;
if (!x||!y)return x>y?x:y;
for(int i;i=x%y;x=y,y=i);
return pr(ii/y);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&q);
for (int i=1;i<=q;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
if(x==y)printf("0\n");
else printf("%d\n",i_gcd(x,y));
}
return 0;
}