Multi-University 2015 #6 E（hdu 5357 Easy Sequence）

題目鏈接

E - Easy Sequence

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Description

soda has a string containing only two characters – ‘(’ and ‘)’. For every character in the string, soda wants to know the number of valid substrings which contain that character.
Note:
An empty string is valid. If S is valid, (S) is valid. If U,V are valid, UV is valid.

Input

There are multiple test cases. The first line of input contains an integer T, indicating the number of test cases. For each test case:
A string s consisting of ‘(’ or ‘)’ (1≤|s|≤106).

Output

For each test case, output an integer m=∑i=1|s|(i⋅ansi mod 1000000007), where ansi is the number of valid substrings which contain i-th character.

Sample Input

2
()()
((()))

Sample Output

20
42

Hint

For the second case, ans={1,2,3,3,2,1} ,
then m=1⋅1+2⋅2+3⋅3+4⋅3+5⋅2+6⋅1=42

題目大意

給定一個括號序列，令ans[i]表示包含第i個字符的合法的字符串個數。
求

∑i=1|s|(i⋅ansi mod 1000000007)

題解

對於一個合法的括號串，都可以化成這樣的形式(...)(...)(...) .
定義ai 表示從i開始的合法字符串的個數，bi 表示以i爲結尾的合法字符串的個數。
當然，a僅對str[i]==’(‘時有效，b僅對str[i]==’)’。
於是ai=amatch[i]+1+1 ，對於這個表達式，可以這樣理解：一個左括號，它的匹配的右邊只能有兩種情況：左括號，右括號。
這樣就代表了兩種情況：
裏面的兩個匹配的括號被外面的包含在內，((...))
後面是一個獨立的匹配括號。(...)(...)
對於第一種情況，a[i]當然是1，而由於match[i]+1是’)’所以amatch[i]+1 肯定爲零。
而對於第二種情況，ai 就是在amatch[i]+1 的基礎上再加上自己這個。
b的推導也與此類似。
從這個推導式可以看出來，a數組需要倒着求，b數組需要正着求。
再考慮如何求出ansi ，ansi=ansmatch[i]=ansup[i]+ai∗bi
其中upi 表示包含i的最小匹配括號的左端點的下標。
對於這個表達式，可以這樣理解：以a開頭的合法串有ai 種取法，b結尾的合法串有bi 種取法，由乘法原理，可以知道不同的取法總共ai∗bi 種。
這題非常坑的一點就是這個取模是在Σ 內部的，外部是不取模的，所以外面用long long存。
對於match，up這些數組，可以用一個棧來算出，值得注意的是，計算up的時候，要先判這個左括號是不是有匹配的右括號，有才會計算up再塞入棧中。
複雜度爲O(n) 。

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int M=1000005;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
int match[M],stk[M],up[M],a[M],b[M],ans[M];
char str[M];
void solve(){
    scanf("%s",str+1);
    int len=strlen(str+1),top=0;
    for(int i=0;i<=len+1;i++)
        up[i]=a[i]=b[i]=ans[i]=match[i]=0;
    for(int i=1;i<=len;i++){
        if(str[i]=='('){
            stk[++top]=i;
        }else if(top){
            match[match[stk[top]]=i]=stk[top];
            top--;
        }
    }
    for(int i=len;i>=1;i--)
        if(str[i]=='('&&match[i]) a[i]=a[match[i]+1]+1;
    for(int i=1;i<=len;i++)
        if(str[i]==')'&&match[i]) b[i]=b[match[i]-1]+1;
    top=0;
    for(int i=1;i<=len;i++){
        if(str[i]=='('&&match[i]){
            while(top&&match[stk[top]]<match[i]) top--;
            up[i]=stk[top];
            stk[++top]=i;
        }
    }
    for(int i=1;i<=len;i++)
        if(str[i]=='(') ans[i]=ans[match[i]]=(ans[up[i]]+a[i]*1LL*b[match[i]])%mod;
    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=len;i++)
        sum=sum+1LL*i*ans[i]%mod;
    printf("%lld\n",sum);
}
int main(){
    int cas;
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--) solve();
    return 0;
}