判斷點是否在三角形內

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概述

給定三角形ABC和一點P(x,y,z)，判斷點P是否在ABC內。這是遊戲設計中一個常見的問題。需要注意的是，這裏假定點和三角形位於同一個平面內。

本文介紹三種不同的方法，由淺入深

一 內角和法

連接點P和三角形的三個頂點得到三條線段PA，PB和PC，求出這三條線段與三角形各邊的夾角，如果所有夾角之和爲180度，那麼點P在三角形內，否則不在，此法直觀，但效率低下。

二 同向法

假設點P位於三角形內，會有這樣一個規律，當我們沿着ABCA的方向在三條邊上行走時，你會發現點P始終位於邊AB，BC和CA的右側。我們就利用這一點，但是如何判斷一個點在線段的左側還是右側呢？我們可以從另一個角度來思考，當選定線段AB時，點C位於AB的右側，同理選定BC時，點A位於BC的右側，最後選定CA時，點B位於CA的右側，所以當選擇某一條邊時，我們只需驗證點P與該邊所對的點在同一側即可。問題又來了，如何判斷兩個點在某條線段的同一側呢？可以通過叉積來實現，連接PA，將PA和AB做叉積，再將CA和AB做叉積，如果兩個叉積的結果方向一致，那麼兩個點在同一測。判斷兩個向量的是否同向可以用點積實現，如果點積大於0，則兩向量夾角是銳角，否則是鈍角。

 

代碼如下，爲了實現程序功能，添加了一個Vector3類，該類表示三維空間中的一個向量。

// 3D vector
class Vector3
{
public:
    Vector3(float fx, float fy, float fz)
        :x(fx), y(fy), z(fz)
    {
    }

    // Subtract
    Vector3 operator - (const Vector3& v) const
    {
        return Vector3(x - v.x, y - v.y, z - v.z) ;
    }

    // Dot product
    float Dot(const Vector3& v) const
    {
        return x * v.x + y * v.y + z * v.z ;
    }

    // Cross product
    Vector3 Cross(const Vector3& v) const
    {
        return Vector3(
            y * v.z - z * v.y,
            z * v.x - x * v.z,
            x * v.y - y * v.x ) ;
    }

public:
    float x, y, z ;
};

// Determine whether two vectors v1 and v2 point to the same direction
// v1 = Cross(AB, AC)
// v2 = Cross(AB, AP)
bool SameSide(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
{
    Vector3 AB = B - A ;
    Vector3 AC = C - A ;
    Vector3 AP = P - A ;

    Vector3 v1 = AB.Cross(AC) ;
    Vector3 v2 = AB.Cross(AP) ;

    // v1 and v2 should point to the same direction
    return v1.Dot(v2) >= 0 ;
}

// Same side method
// Determine whether point P in triangle ABC
bool PointinTriangle1(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
{
    return SameSide(A, B, C, P) &&
        SameSide(B, C, A, P) &&
        SameSide(C, A, B, P) ;
}

三 重心法

上面這個方法簡單易懂，速度也快，下面這個方法速度更快，只是稍微多了一點數學而已

三角形的三個點在同一個平面上，如果選中其中一個點，其他兩個點不過是相對該點的位移而已，比如選擇點A作爲起點，那麼點B相當於在AB方向移動一段距離得到，而點C相當於在AC方向移動一段距離得到。

所以對於平面內任意一點，都可以由如下方程來表示

P = A +  u * (C – A) + v * (B - A) // 方程1

如果係數u或v爲負值，那麼相當於朝相反的方向移動，即BA或CA方向。那麼如果想讓P位於三角形ABC內部，u和v必須滿足什麼條件呢？有如下三個條件

u >= 0

v >= 0

u + v <= 1

幾個邊界情況，當u = 0且v = 0時，就是點A，當u = 0,v = 1時，就是點B，而當u = 1, v = 0時，就是點C

整理方程1得到P – A = u(C - A) + v(B - A)

令v0 = C – A, v1 = B – A, v2 = P – A，則v2 = u * v0 + v * v1，現在是一個方程，兩個未知數，無法解出u和v，將等式兩邊分別點乘v0和v1的到兩個等式

(v2) • v0 = (u * v0 + v * v1) • v0

(v2) • v1 = (u * v0 + v * v1) • v1

注意到這裏u和v是數，而v0，v1和v2是向量，所以可以將點積展開得到下面的式子。

v2 • v0 = u * (v0 • v0) + v * (v1 • v0)  // 式1

v2 • v1 = u * (v0 • v1) + v * (v1• v1)   // 式2

解這個方程得到

u = ((v1•v1)(v2•v0)-(v1•v0)(v2•v1)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))

v = ((v0•v0)(v2•v1)-(v0•v1)(v2•v0)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))

是時候上代碼了，這段代碼同樣用到上面的Vector3類

// Determine whether point P in triangle ABC
bool PointinTriangle(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
{
    Vector3 v0 = C - A ;
    Vector3 v1 = B - A ;
    Vector3 v2 = P - A ;

    float dot00 = v0.Dot(v0) ;
    float dot01 = v0.Dot(v1) ;
    float dot02 = v0.Dot(v2) ;
    float dot11 = v1.Dot(v1) ;
    float dot12 = v1.Dot(v2) ;

    float inverDeno = 1 / (dot00 * dot11 - dot01 * dot01) ;

    float u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * inverDeno ;
    if (u < 0 || u > 1) // if u out of range, return directly
    {
        return false ;
    }

    float v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * inverDeno ;
    if (v < 0 || v > 1) // if v out of range, return directly
    {
        return false ;
    }

    return u + v <= 1 ;
}

關於重心座標

http://mathworld.wolfram.com/BarycentricCoordinates.html