以下取自《編程之美-微軟技術面試心得》
斐波那契數列由如下遞推關係式定義：
F(0)=0 F(1)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2) if n>1
求解斐波那契數列的方法有以下幾種：
1.根據遞推公式可以很容易想到用遞歸的方法求解第n+1項的值，代碼如下：
int Fibonacci(int n){
if(n<=0)return 0;
else
if(n==1)return 1;
else
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}
這種方法在計算F[n]時，需要計算從F[2]到F[n-1]每一項的值，這樣簡單的遞歸式存在着很多的重複計算，如求F[5]=F[4]+F[3]，在求F[4]的時候也需要求一次F[3]的大小，等等。
2.爲了減少上述的重複運算，可以用一個數組存儲所有已經計算過的項。這樣便可以達到用空間換時間的目的。在這種情況下，時間複雜度爲O(N)，而空間複雜度也爲O(N)。
int Fibonacci3(int n)
{
int *res = new int[n+1];
res[0]=0;
res[1]=1;
int i=0,result=0;
if(n<=0)
return 0;
if(n==1)
return 1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
res[i]=res[i-1]+res[i-2];
}
result=res[n];
delete[] res;
return result;
}
該方法是根據編程之美書中題意實現的，申請了數組，空間複雜度爲o(n);
但其實有空間複雜度更小的解法，只保存之前兩項的值爲x和y，計算待求的z後更新x和y，這樣空間複雜度就減少了。代碼如下：
int Fibonacci2(int n)
{
int i=0,x=0,y=1,z=0;
if(n<=0)
return 0;
if(n==1)
return 1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
z=x+y;
x=y;
y=z;
}
return z;
}
3.如果我們知道一個數列的通項公式，利用公式來計算會更加容易。能不能把這個函數的遞推公式計算出來呢？
由遞推公式F(n)=F(n-1)+F(n-2)，知道F(n)的特性方程爲：x^2=x+1(見補充)
有根：x1=(1+sqrt(5.0))/2，x2=(1-sqrt(5.0))/2
所以存在A，B使得：
F(n)=A*x1^n+B*x2^n
代入F(0)=0，F(1)=1，解得A=1/sqrt(5.0)，B=-1/sqrt(5.0)，即
F(n)=(x1^n-x2^n)/sqrt(5.0)
通過公式，我們可以在O(1)的時間內得到F(n)。但公式引入了無理數，所以不能保證結果的精度。
4.注意到Fibonacci數列是二階遞推數列，所以存在一個2*2的矩陣A，使得：
(F[n] F[n-1])=(F[n-1] F[n-2])*A，結合F[n]=F[n-1]+F[n-2]求解，可得：
A=1 1,1 0(上面是1 1，下面爲1 0)，由上面的矩陣遞推公式有：
(F[n] F[n-1])=(F[n-1] F[n-2])*A=(F[n-2] F[n-3])*A^2=...=(F[1] F[0])*A[n-1]，或
剩下的問題就是求解矩陣A的方冪。A^n=A*A*...*A，最直接的解法就是通過n-1次乘法得到結果。但是當n很大時，比如1 000 000或1 000 000 000，這個算法的效率就不能接受了。當然，在這個情況下，F[n]在int所表示的整數裏早就溢出了，但如果要求解的是F[n]對某個素數的餘數時，這個算法會是非常有用和高效的。
注意到：
A^(x+y)=A^x*A^y
A^(x*2)=A^(x+x)=(A^x)^2
用二進制方法表示n：
n=ak*2^k+a(k-1)*2^(k-1)+...+a1*2+a0(其中ai=0或1，i=0，1，...，k)
A^n=A^(ak*2^k+a(k-1)*2^(k-1)+...+a1*2+a0)=(A^(2^k))^ak*...*A^a0
如果能夠得到A^(2^i)的值，就可以再經過logn次乘法得到A^n.
而這容易通過遞推得到：
A^(2^i)=(A^(2^(i-1)))^2。根據上面的思想，具體代碼如下：
Class Matrix; //假設我們已經有了實現乘法操作的矩陣類
Matrix MatrixPow(const Matrix &m,int n){ //求解m的n次方
Matrix result=Matrix::Identity; //賦初值爲單位矩陣
Matrix tmp=m;
for(;n;n>>=1){
if(n&1)result*=tmp;
tmp*=tmp;
}
}
int Fibonacci(int n){
Matrix an=MatrixPow(A,n-1); //A的值就是上面求解出來的
return F1*an(0,0)+F0*an(1,0);
}
整個算法的時間複雜度爲O(logn)
解法3其實就是用到數學公式求得的矩陣A，求其n次冪時用了分冶的策略，減少了運算次數