字符串 --- KMP算法

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字符串匹配

舉例來說，有一個字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，我想知道，裏面是否包含另一個字符串”ABCDABD”？

KMP算法

注意：“*”號之間爲當前比較的字符。
1. 首先，字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”的第一個字符與搜索詞”ABCDABD”的第一個字符，進行比較。因爲B與A不匹配，所以搜索詞後移一位。

    *B*BC ABCDAB ABCDABCDABDE
    *A*BCDABD

1. 因爲B與A不匹配，搜索詞再往後移。

   B*B*C ABCDAB ABCDABCDABDE
    *A*BCDABD
   

2. 就這樣，直到字符串有一個字符，與搜索詞的第一個字符相同爲止。

   BBC *A*BCDAB ABCDABCDABDE
       *A*BCDABD
   

3. 接着比較字符串和搜索詞的下一個字符，還是相同。

    BBC A*B*CDAB ABCDABCDABDE
        A*B*CDABD
   

4. 直到字符串有一個字符，與搜索詞對應的字符不相同爲止。

   BBC ABCDAB * *ABCDABCDABDE
        ABCDAB*D*
   

5. 這時，最自然的反應是，將搜索詞整個後移一位，再從頭逐個比較。這樣做雖然可行，但是效率很差，因爲你要把”搜索位置”移到已經比較過的位置，重比一遍。

   BBC A*B*CDAB ABCDABCDABDE
        *A*BCDABD
   

6. 一個基本事實是，當空格與D不匹配時，你其實知道前面六個字符是”ABCDAB”。KMP算法的想法是，設法利用這個已知信息，不要把”搜索位置”移回已經比較過的位置，繼續把它向後移，這樣就提高了效率。

   BBC ABCDAB * *ABCDABCDABDE
        ABCDAB*D*
   

7. 怎麼做到這一點呢？可以針對搜索詞，算出一張《部分匹配表》（Partial Match Table）。這張表是如何產生的，後面再介紹，這裏只要會用就可以了。

   搜索詞        A    B   C   D    A   B   D
   部分匹配值     0    0   0   0    1   2   0
   

8. 已知空格與D不匹配時，前面六個字符”ABCDAB”是匹配的。查表可知，最後一個匹配字符B對應的”部分匹配值”爲2，因此按照下面的公式算出向後移動的位數：
   　　移動位數 = 已匹配的字符數 - 對應的部分匹配值
   　　因爲 6 - 2 等於4，所以將搜索詞向後移動4位

   BBC ABCDAB * *ABCDABCDABDE
        ABCDAB*D*
   

9. 因爲空格與Ｃ不匹配，搜索詞還要繼續往後移。這時，已匹配的字符數爲2（”AB”），對應的”部分匹配值”爲0。所以，移動位數 = 2 - 0，結果爲 2，於是將搜索詞向後移2位。

   BBC ABCDAB * *ABCDABCDABDE
            AB*C*DABD
   

10. 因爲空格與A不匹配，繼續後移一位

    BBC ABCDAB * *ABCDABCDABDE
               *A*BCDABD
    

11. 逐位比較，直到發現C與D不匹配。於是，移動位數 = 6 - 2，繼續將搜索詞向後移動4位。

    BBC ABCDAB ABCDAB*C*DABDE
               ABCDAB*D*
    

12. 逐位比較，直到搜索詞的最後一位，發現完全匹配，於是搜索完成。如果還要繼續搜索（即找出全部匹配），移動位數 = 7 - 0，再將搜索詞向後移動7位，這裏就不再重複了。

    BBC ABCDAB ABCDABCDAB*D*E
                   ABCDAB*D*
    

13. 下面介紹《部分匹配表》是如何產生的。
    首先，要了解兩個概念：”前綴”和”後綴”。 “前綴”指除了最後一個字符以外，一個字符串的全部頭部組合；”後綴”指除了第一個字符以外，一個字符串的全部尾部組合。

    字符串：  bread
    前綴：    b, br, bre, brea
    後綴：    read, ead, ad, d
    

14. “部分匹配值”就是”前綴”和”後綴”的最長的共有元素的長度。以”ABCDABD”爲例，
    　　－　“A”的前綴和後綴都爲空集，共有元素的長度爲0；
    　　－　“AB”的前綴爲[A]，後綴爲[B]，共有元素的長度爲0；
    　　－　“ABC”的前綴爲[A, AB]，後綴爲[BC, C]，共有元素的長度0；
    　　－　“ABCD”的前綴爲[A, AB, ABC]，後綴爲[BCD, CD, D]，共有元素的長度爲0；
    　　－　“ABCDA”的前綴爲[A, AB, ABC, ABCD]，後綴爲[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素爲”A”，長度爲1；
    　　－　“ABCDAB”的前綴爲[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，後綴爲[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素爲”AB”，長度爲2；
    　　－　“ABCDABD”的前綴爲[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，後綴爲[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的長度爲0。

    搜索詞        A   B   C   D    A   B   D
    部分匹配值     0   0   0   0    1   2   0
    

15. “部分匹配”的實質是，有時候，字符串頭部和尾部會有重複。比如，”ABCDAB”之中有兩個”AB”，那麼它的”部分匹配值”就是2（”AB”的長度）。搜索詞移動的時候，第一個”AB”向後移動4位（字符串長度-部分匹配值），就可以來到第二個”AB”的位置。

    BBC ABCDAB ABCDAB*C*DABDE
               ABCDAB*D*
    

算法時間複雜度爲O(m+n)（其中m爲字符段長度，n爲匹配模式的長度）。