從1到n整數中1出現的次數（比如121這一個整數裏就含有兩個1）

1、通過舉例來描述問題

【用例1】5

        答案：1。因爲只有1中含有一個。

【用例2】10

        答案：2。因爲只有1和10中各含有一個。

【用例3】55

        答案：16。因爲10~19中的十位各有一個；01、11、21、31、41、51的個位各有一個。    

【用例4】99

        答案：20。因爲10~19中的十位各有一個；01、11、21、31、41、51..91的個位各有一個。    

【用例5】10000

        答案：401。因爲只有10000的萬位含有1；千位含有1共10^3個數；同理，百位和個位。   

【用例6】21345

        答案：18821。稍複雜，算法思路是不斷降低位數，逐步的計算從高位到低位中1的數目。

2、算法思路

算法思路很簡單，每次去掉最高位做遞歸。從高位到低位計算是1的個數，再累加。
咱們還是以【用例6】來具體介紹，每次劃分爲兩個區間，如下所示。

2.1、嘗試性的思路

21345
區間一： 1~20000
區間二： 20001~21345
求解區間一，最高位（萬位）是1的數是10000~19999共10^4個；次高位（千位）是1的數是01000~01xxx和11000~11xxx共2*10^3個；第三高位（百位）是1的數是0x100~0x1xx和1x100~1x1xx共2*10^3個；同理，十位是1的數是2*10^3個，個位是1的數是2*10^3個。
求解區間二，因爲最高位確定是2了，等價於求0001~1345，即用例1345。

1345
區間一： 1~1000
區間二： 1001~1345
求解區間一，最高位（千位）是1的數是1000共1個；次高位（百位）是1的數是0100~01xx共10^2個；同理，十位是1的數共10^2個，個位是1的數共10^2個。
求解區間二，因爲最高位（千位）是1的數是1001~1345共345個；因爲最高位確定是1了，等價與求001~345，即用例345。

345
區間一： 1~300
區間二： 301~345
求解區間一，最高位（百位）是1的數共100個；次高位（十位）是1的數是010~01x和110~11x和210~21x共3*10個；同理，個位是1的數共3*10個。
求解區間二，因爲最高位確定是3了，等價於求01~45，即用例45。

45
區間一： 1~40
區間二： 41~45
求解區間一，最高位（十位）是1的數共10個；次高位（個位）是1的數是01、11、21、31共4個。
求解區間二，因爲最高位確定是4了，等價於求1~5，即用例5，所以1的個數共1個。

綜上可知，sum=(10^4+2*10^3*4)+(1+10^2*3)+345+(100+3*10*2)+(10+4)+（1）
=18000+301+345+160+14+1
=18821

---

2.2、整理後的思路

在上邊步驟中，如果最高位是1，那麼在求解區間2時要計算最高位是1的個數（這在區間1中也要算，其實分兩次不太合適）。所以，爲了簡化算法，統一的把它拿出來單獨計算，作爲區間零，而在區間二和三中都不再重複計算重複最高位是1的個數。
21345
區間零：10000~19999
區間一： 1~20000，排除區間零（最高位是1的情況）中的
區間二： 20001~21345
求解區間零，最高位（萬位）是1的數是10000~19999共10^4個
求解區間一，次高位（千位）是1的數是01000~01xxx和11000~11xxx共2*10^3個；第三高位（百位）是1的數是0x100~0x1xx和1x100~1x1xx共2*10^3個；同理，十位是1的數是2*10^3個，個位是1的數是2*10^3個。
求解區間二，因爲最高位確定是2了，等價於求0001~1345，即用例1345。

1345
區間零：1000~1345
區間一： 1~1000
區間二： 1001~1345
求解區間零，最高位（千位）是1的數是1000~1345共346個
求解區間一，次高位（百位）是1的數是0100~01xx共10^2個；同理，十位是1的數共10^2個，個位是1的數共10^2個。
求解區間二，因爲最高位確定是1了，等價與求001~345，即用例345。

345
區間零：100~199
區間一： 1~300
區間二： 301~345
求解區間零，最高位（百位）是1的數共100個；
求解區間一，次高位（十位）是1的數是010~01x和110~11x和210~21x共3*10個；同理，個位是1的數共3*10個。
求解區間二，因爲最高位確定是3了，等價於求01~45，即用例45。

45
區間零：10~19
區間一： 1~40
區間二： 41~45
求解區間零，最高位（十位）是1的數共10個；
求解區間一，次高位（個位）是1的數是01、11、21、31共4個。
求解區間二，因爲最高位確定是4了，等價於求1~5，即用例5，所以1的個數共1個。

綜上可知，sum=(10^4+2*10^3*4)+(1+10^2*3)+345+(100+3*10*2)+(10+4)+（1）
=18000+301+345+160+14+1
=18821

3、算法實現

3.1、原始的方法

// ====================原始的方法（累加1到n中每個整數1出現的次數）====================
int NumberOf1(unsigned int n);

int NumberOf1Between1AndN_Solution1(unsigned int n)
{
    int number = 0;

    for(unsigned int i = 1; i <= n; ++ i)
        number += NumberOf1(i);

    return number;
}

int NumberOf1(unsigned int n)
{
    int number = 0;
    while(n)
    {
        if(n % 10 == 1)
            number ++;

        n = n / 10;
    }

    return number;
}

3.2、在2中介紹的方法

// ====================在2中介紹的方法（每次去掉最高位做遞歸）====================
int NumberOf1(const char* strN);
int PowerBase10(unsigned int n);

int NumberOf1Between1AndN_Solution2(int n)
{
    if(n <= 0)
        return 0;

    char strN[50];
    sprintf(strN, "%d", n);

    return NumberOf1(strN);
}

int NumberOf1(const char* strN)
{
    if(!strN || *strN < '0' || *strN > '9' || *strN == '\0')
        return 0;

    int first = *strN - '0';
    unsigned int length = static_cast<unsigned int>(strlen(strN));

    if(length == 1 && first == 0)
        return 0;

    if(length == 1 && first > 0)
        return 1;

    // 假設strN是"21345"
    // numFirstDigit是數字10000-19999的第一個位中1的數目
    int numFirstDigit = 0;
    if(first > 1)
        numFirstDigit = PowerBase10(length - 1);
    else if(first == 1)
        numFirstDigit = atoi(strN + 1) + 1;

    // numOtherDigits是01346-21345除了第一位之外的數位中1的數目
    int numOtherDigits = first * (length - 1) * PowerBase10(length - 2);
    // numRecursive是1-1345中1的數目
    int numRecursive = NumberOf1(strN + 1);

    return numFirstDigit + numOtherDigits + numRecursive;
}

int PowerBase10(unsigned int n)
{
    int result = 1;
    for(unsigned int i = 0; i < n; ++ i)
        result *= 10;

    return result;
}