排序算法(2)——堆排序

[轉載] 《算法導論》和 百度百科

1、堆的定義

(二叉)堆是一個數組，它可以被看成一個近似的完全二叉樹。樹上的每一個節點對應數組中的一個元素。除最底層（葉子層）外其它層都是滿的。
規定樹的根結點是A[1]，這樣給定一個節點的下標i，我們可以 很容易計算它的父節點、左孩子、右孩子的下標。

    PARENT(i)=i/2;
    LEFT(i)=2*i;
    RIGHT(i)=2*i+1;

(二叉)堆可分爲兩種形式：最大堆和最小堆。
最大堆要滿足如下性質：

    A[PARENT(i)]>=A[i]

即除了根節點以外的所有節點，其父節點的值要大於等於該節點的值。
最小堆是滿足如下性質：

    A[PARENT(i)]<=A[i]

在從小到大的堆排序中，我們使用最大堆。

2、堆排序的思想

2.1、維護最大堆的性質

2.2、建堆

2.3、堆排序算法

3、堆排序的實現

#include <stdio.h>

//維護最大堆的性質
void HeapAdjust(int array[],int i,int nLength)
{
    int nChild;
    int nTemp;
    for(;2*i+1<nLength;i=nChild)
    {
        //子結點的位置=2*（父結點位置）+1
        nChild=2*i+1;
        //得到子結點中較大的結點
        if(nChild<nLength-1&&array[nChild+1]>array[nChild])++nChild;
        //如果較大的子結點大於父結點那麼把較大的子結點往上移動，替換它的父結點
        if(array[i]<array[nChild])
        {
            nTemp=array[i];
            array[i]=array[nChild];
            array[nChild]=nTemp; 
        }
        else break; //否則退出循環
    }
}
//堆排序算法
void HeapSort(int array[],int length)
{
    int i;
    //建堆
    for(i=length/2-1;i>=0;--i)
    HeapAdjust(array,i,length);

    //堆排序
    for(i=length-1;i>0;--i)
    {
        //把第一個元素和當前的最後一個元素交換，
        //保證當前的最後一個位置的元素都是在現在的這個序列之中最大的
        array[i]=array[0]^array[i];
        array[0]=array[0]^array[i];
        array[i]=array[0]^array[i];
        //不斷縮小調整heap的範圍，每一次調整完畢保證第一個元素是當前序列的最大值
        HeapAdjust(array,0,i);
    }
}
int main()
{
    int i;
    int num[]={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0};
    HeapSort(num,sizeof(num)/sizeof(int));
    for(i=0;i<sizeof(num)/sizeof(int);i++)
    {
        printf("%d ",num[i]);
    }
    printf("\nok\n");
    return 0;
}

4、堆排序的性能

建堆時間複雜度是O(n)，堆排序是O(nlgn)。所以總的時間複雜度是O(nlgn)。

和其它排序算法的比較：
算法思想類似於選擇排序，而且也是不穩定的排序算法。因爲簡單選擇排序每次通過比較找到最大元素，堆排序是通過維護最大堆的性質在根節點找到最大元素，然後放到數組最後，直到所有節點都排好序。既然類似選擇排序，那也會影響等值元素在數組中的原有順序，從而破壞穩定性。